Question

Duas instituições financeiras fornecem senhas para seus clientes, construídas segundo os seguintes métodos:

primeira instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

segunda instituição: 6 caracteres distintos formados por duas letras, dentre as vogais, na primeira e segunda posições da senha, seguidas por 4 algarismos dentre os elementos do conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Para comparar a eficiência entre os métodos de construção das senhas, medindo sua maior ou menor vulnerabilidade, foi definida a grandeza "força da senha", de forma que, quanto mais senhas puderem ser criadas pelo método, mais "forte" será a senha.
Com base nessas informações, pode - se dizer que, em relação à segunda instituição, a senha da primeira instituição é

a) 10% mais fraca.

b) 10% mais forte

c) De mesma força

d) 20% mais fraca

e) 20% mais forte

Answer 1

Vamos calcular o número de possibilidades de senha para cada instituição, usando o princípio fundamental da contagem (multiplicativo)

     •   1ª  instituição:

Senhas com  5  caracteres distintos, onde cada posição é um algarismo do conjunto

     {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}


     ____  ____  ____  ____  ____


     Para a 1ª posição, temos  9  possibilidades.

     Para a 2ª posição, temos  9 − 1 = 8  possibilidades;

     Para a 3ª posição, temos  8 − 1 = 7  possibilidades;

     Para a 4ª posição, temos  7 − 1 = 6  possibilidades;

     Para a 5ª posição, temos  6 − 1 = 5  possibilidades.


Veja que o número de possibilidades foi sendo decrementado, pois queremos caracteres distintos, não repetidos.

O total de senhas possíveis para a  1ª instituição é o total de arranjos simples dos 9 elementos, tomados em grupos de 5:

     n₁ = A(9, 5)

     n₁ = 9 · 8 · 7 · 6 · 5

     n₁ = 15120  senhas


_____


     •   2ª instituição:

Senhas com  6  caracteres distintos,  onde

     as duas primeiras posições são vogais:  {a, e, i, o, u}

     as outras quatro posições são algarismos do conjunto:  {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}


     ____  ____  ____  ____  ____  ____


     Para a 1ª posição, temos  5  possibilidades  (vogais).

     Para a 2ª posição, temos  5 − 1 = 4  possibilidades;

     Para a 3ª posição, temos  7  possibilidades  (algarismos);

     Para a 4ª posição, temos  7 − 1 = 6  possibilidades;

     Para a 5ª posição, temos  6 − 1 = 5  possibilidades.

     Para a 6ª posição, temos  5 − 1 = 4  possibilidades.


O total de senhas possíveis para a  2ª  instituição é

     n₂ = (5 · 4) · (7 · 6 · 5 · 4)

     n₂ = 16800  senhas


Temos que

     16800 > 15120

     n₂ > n₁


Logo, a senha da 2ª instituição é a mais forte.


Para encontrar o percentual da força da senha da 1ª em relação à 2ª instituição, basta fazermos a diferença entre os valores, e dividir por  n₂:

     (n₁ − n₂)/n₂

     = (15120 − 16800)/16800 

     = − 1680/16800

     = − 0,10

     = − 10 %


A senha da  1ª  instituição é  10 % mais fraca  em relação à senha da  2ª  instituição.


     Resposta:  alternativa  a)  10% mais fraca.


Bons estudos! :-)