Question

Dois v ́ertices de um triˆangulo equl ́atero s ̃ao a = (−1, 1) e b = (3, 1). Determine as coordenadas do terceiro v ́ertice.

Answer 1

As coordenadas do terceiro vértice são C =(1, 1+√3)

Geometria analítica - Distância de pontos

Seja A=(-1,1) , B=(3,1) e C(x, y) o terceiro vértice procurado. A distância AB é dada por:

$d(A,B)=\sqrt{(-1-3)^{2}+(1-1)^{2} } = \sqrt{4^{2} } = 4$

Logo, o lado AB do triângulo ABC equilátero mede 4 e portanto, os demais lados AC e BC também medem 4.

Sabendo que o triângulo é equilátero podemos fazer a seguinte igualdade:

D(A,C) = D(B,C), logo:

$(x+1)^{2} +(y-1)^{2} = (x-3)^{2} +(y-1)^{2}$

podemos cancelar o termo (y - 1)² em ambos os termos, então:

$(x+1)^{2} = (x-3)^{2} \\\\x^{2} +2x+1=x^{2} -6x+9\\2x +6x=9-1\\\\8x=8\\x=1$

Logo, a coordenada x é igual a 1, então temos C(1, y), sabendo que o

triangulo ABC é equilátero, podemos fazer D(A,C) = 4:

$(1-(-1))^{2} +(y-1)^{2} =4^{2} \\ \\2^{2} + y^{2} -2y+1=16 \\\\y^{2}-2y-11=0$

Iremos aplicar a formula de Bhaskara para encontrar a variável y:

Cálculo de Delta:

Δ = b² -4.a.c = (-2)² - 4 . (1) . (-11) = 4 + 44 = 48

Δ = 48 → √Δ = √48 = ± 4√3

$y1 = \frac{2 +4\sqrt{3} }{2} \\\\y1=1+2\sqrt{3}$

Portanto, as coordenadas do ponto C são C =(1, 1+√3)

Espero ter ajudado! = )

Para saber mais sobre Distância de pontos:

https://brainly.com.br/tarefa/288153

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