Question

Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6 = 1. A área deste polígono, em unidades de área, é igual a:.

Answer 1

Utilizando as propriedades das raízes unitárias dos números complexos e a fórmula da área de um hexágono, calculamos que, a área do polígono é $3 \sqrt{3} /2$.

Raízes complexas

As raízes n-ésimas da unidade são formadas por n pontos sobre a circunferência de raio medindo 1, de forma que, dois pontos consecutivos são possuem sempre a mesma distância.

Dessa forma, as seis raízes complexas da equação dada formam um polígono regular com seis vértices, ou seja, é um hexágono regular. Como o raio da circunferência que contém os vértices desse hexágono é igual a 1, temos que, cada aresta do hexágono mede 1.

Pela fórmula da área de um hexágono regular, calculamos que, a área do polígono descrito na questão é:

$3 \sqrt{3} *1^2 / 2 = 3 \sqrt{3} /2$

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