Question

Dois projéteis iguais são atirados, no mesmo instante, da mesma posição (40m acima do solo), verticalmente, em sentidos opostos e com velocidades de mesmo módulo. Em 2 s o primeiro projétil atinge o solo. Depois de quanto tempo, a partir da chegado do primeiro, o segundo atingirá o solo? (Despreze qualquer atrito e considere g =10m /s2

Answer 1

O que chegará antes obviamente será o que for atirado para baixo...
O que é atirado para baixo tem uma velocidade inicial (vo) e uma aceleração positiva, a da gravidade (g → 10 m/s²)...

Calculando vo com base no projétil apontado para baixo :
Sf = So + vo * t + a * t² / 2
Sf ⇒ Espaço final;
So ⇒ Espaço inicial;
vo ⇒ v. inicial;
a ⇒ aceleração;
t ⇒ tempo...

Considerando So irrelevante aqui (So = 0 m), Sf = altura percorrida do ponto inicial ao solo (H = 40 m), a = g (10 m/s²) e t = o tempo que esse projétil leva para chegar ao solo (percorrer os 40 m) → 2 segs, temos :

40 = vo * 2 + 10 * 2² / 2
40 = 2 * vo + 5 * 4
40 = 2 * vo + 20
40 - 20 = 2 * vo
20 = 2 * vo
20 / 2 = vo
vo = 10 m/s ⇒ Esta é a velocidade inicial do projétil que é atirado para baixo, mas como foi dito no enunciado. é a v. inicial de ambos os projéteis !

Vamos agora separar o tempo total em que o segundo projétil (que é atirado para cima) fica no ar...

Tempo total (tt) = Tempo de subida (ts) + Tempo de descida (Td)
Tt = ts +Td

No primeiro momento (na subida), o segundo projétil tem uma aceleração negativa de - g (- 10 m/s² → desaceleração provocada pela gravidade)... o projétil vai subir o máximo até a sua velocidade ser zerada pela gravidade, ou seja, o tempo de subida será o tempo em que a ac. gravitacional levará para zerar a v. inicial do segundo projétil...

Na subida :
vf = vo +  a * t
vf ⇒ v. final;
vo ⇒ v. inicial;
a ⇒ aceleração;
t ⇒ tempo...

Na subida máxima ⇒
vf = 0 m/s (a gravidade zerá a velocidade dele);
vo = 10 m/s;
a = -g (-10 m/s² → desaceleração provocada pela gravidade, já que subindo o projétil esta "contra" a mesma);
t = Tempo de subida (ts) ⇒ ???...

0 = 10 -10 * ts
10 * ts = 10
ts = 1 segundo ⇒ Este é o tempo que leva para o projétil subir ao máximo !

Neste tempo de subida, o que o projétil atingiu (considerando que seu espaço inicial, So, era a altura de 40 m) foi :

Sf = So + vo * t + a * t² / 2 
(So = 40 m, vo = 10 m/s, t = 1 s e a = -g (-10 m/s²) ) :

Sf = 40 + 10 * 1 - 10 * 1² / 2
Sf = 40 + 10 - 5
Sf = 45 metros ⇒ esta é a altura máxima que o projétil atingiu !

Agora vamos considerar outro momento, que é quando o projétil está caindo (momento da descida)...

Agora, na descida, a velocidade foi inicialmente zerada pela gravidade, logo, vo = 0 m/s... agora o projétil está "a favor" da gravidade, sua aceleração é g ( → 10 m/s²)...

Calculando o tempo de descida (td) :
Sf = So + vo * t + a * t² / 2 

De novo, consideramos aqui que So é irrelevante (So = 0 m → aqui não influencia) e a = g (10 m/s²)... mas aqui, vo = 0 m/s e o espaço final (Sf) percorrido até o solo será de 45 m (lembre-se que ele subiu primeiro até os 45 m para aí sim cair)... sendo assim, o tempo de descida será de (td = ???...)

45 = 10 * td² / 2
45 = 5 * td²
45 / 5 = td²
td² = 9
td = √9
td = 3 segundos (descarta-se "-3 segs...") ⇒ este é o tempo total de descida do segundo projétil !

Sendo assim, o tempo total (tt) do movimento do segundo projétil será de :

tt = ts + td (ts → 1 s e td → 3 s)
tt = 1 + 3
tt = 4 segundos ⇒ este é o tempo total do movimento do segundo projétil (atirado inicialmente para cima) até o solo !

mas o ex. quer "quanto tempo depois", ou seja, a diferença entre o tempo levado pelo segundo projétil e pelo tempo levado pelo primeiro, já que o primeiro também demorou certo tempo para chegar ao solo...

Resultado = Tempo total do segundo - Tempo do primeiro
Resultado = 4 - 2
Resultado = 2 segundos ⇒ Isso significa que depois de 2 segundos da chegada ao solo do primeiro projétil, o segundo projétil chegará ao solo !