Question

Dois números reais são tais que sua soma é igual a 8, e a soma de seus quadrados é igual a 42.
a)Calcule o produto desses números.
b) Calcule a diferença desses números.

Answer 1

Resposta:

a) 11

b) $-2\sqrt{5}$ ou $2\sqrt{5}$

Explicação passo-a-passo:

Dado o comando, temos que a soma de dois números quaisquer (chamemos X e Y) é 8; de seus quadrados: 42.

X + Y = 8 => X = 8 - Y

X² + Y² = 42 [Substitui-se X] => (8- Y)² + Y² = 42

Y² - 16Y + 64 + Y² = 42

2Y² - 16Y = -22

Y² - 8Y + 11 = 0

Temos que: $Y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$Y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4*(1)*(11)}}{2*1}$

$Y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 44}}{2}$

$Y = \frac{8 \pm \sqrt{20}}{2}$

$Y = \frac{8 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$Y_1 = 4 + \sqrt{5}$

$Y_2 = 4 - \sqrt{5}$

Substituímos na primeira equação:

$X + Y = 8$

$X + 4 + \sqrt{5} = 8 => X_1 = 4 - \sqrt{5}$

$X + 4 - \sqrt{5} = 8 => X_2 = 4 + \sqrt{5}$

Sendo assim: $S={X_1,Y_1 (4 - \sqrt{5};4 + \sqrt{5}) | X_2, Y_2 (4+\sqrt{5}; 4 - \sqrt{5})}$

a)

Para calcular o produto, temos duas possibilidades:

$X_1 * Y_1 ou X_2 * Y_2$

$(4 - \sqrt{5})* (4 + \sqrt{5}) = 16 - 5 = 11$

$(4 + \sqrt{5}) * (4 - \sqrt{5}) = 16 - 5 = 11$

11 em ambas as possibilidades.

b) Ficou um pouco estranha, visto que qual a diferença?

Há quatro possibilidades, são elas:

$X_1 - Y_1\\Y_1 - X_1\\X_2 - Y_2\\Y_2 - X_2$

Chequemos todas:

$4 - \sqrt{5} - (4 + \sqrt{5}) = -2\sqrt{5}\\4 + \sqrt{5} - (4 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}\\4 + \sqrt{5} - (4 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}\\4 - \sqrt{5} - (4 + \sqrt{5}) = -2\sqrt{5}$

Sendo assim, a diferença entre eles será $-2\sqrt{5}$ ou $2\sqrt{5}$