Question

do terraço de um edifício, observa-se um objeto no solo com um "angulo de depressão" teta e , de um andar que corresponde à metade da altura desse edifício, observa-se o mesmo objeto com um "angulo de depressão" beta.Sabendo que teta e beta são ângulos complementares determine o valor da tg de teta

Answer 1

Olá, Lucas.

Seja $h$ a altura do edifício e $d$ a distância do edifício ao objeto.

$tg\,\theta = \frac{cateto\,oposto}{cateto\,adjacente}= \frac h d\\\\ tg\,\beta = \frac{cateto\,oposto}{cateto\,adjacente}=\frac{\frac{h}2}{d}=\frac h {2d}$

Portanto, $tg\,\beta = \frac{tg\,\theta} 2$ (i)

Como θ e β são complementares, temos que sen θ = cos β e sen β = cos θ, ou seja:

$tg\,\theta=\frac{sen\,\theta}{cos\,\theta}= \frac{cos\,\beta}{sen\,\beta} = \frac{1}{\frac{sen\,\beta}{cos\,\beta}}=\frac1{tg\,\beta}\Rightarrow\,tg\,\beta=\frac1{tg\,\theta}$ (ii)

Substituindo a expressão (ii) na expressão (i), temos:

$\frac1 {tg\,\theta} = \frac{tg\,\theta}2 \Rightarrow tg\²\theta = 2 \Rightarrow \boxed{tg\,\theta = \sqrt2}$