Question

determine y de modo que o triangulo de vertice a (1,4) b (4,1) e c (0,y) tenha a area igual a 6

Answer 1

A área de um triângulo pode ser dada utilizando as coordenadas do seus vértices e calculando o determinante da matriz contendo estes vértices, da seguinte forma:
$X = \left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right] \\ \\ \\ A = \dfrac{1}{2} \cdot det[X]$

Substituindo os pontos:
$X = \left[\begin{array}{ccc}1&4&1\\4&1&1\\0&y&1\end{array}\right]$

O determinante é calculando utilizando a regra de Sarrus:
$det[X] = 1*1*1 + 4*1*0 + 1*4*y - 0*1*1 - y*1*1 - 1*4*4 \\ \\ det[X] = 1 + 0 + 4y - 0 -y - 16 \\ det[X] = 3y-15$

Calculando y:
$A = \dfrac{1}{2} \cdot det[X] \\ \\ 6 = \dfrac{1}{2} \cdot (3y-15) \\ \\ 12 = 3y - 15 \\ 3y = 27 \\ y = 9$