Question

Determine um vetor de módulo 4 que seja perpendicular ao vetor w(-6,8)

Answer 1

Encontrar um vetor $\mathbf{v}=\left(v_{1},\,v_{2}\right)$, que seja ortogonal a $\mathbf{w}=\left(-6,\,8\right)$, de forma que

$\left\|\mathbf{v}\right\|=4$


Se $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ são vetores ortogonais entre si, então o produto escalar entre eles é zero:

$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0\\ \\ \left(v_{1},\,v_{2}\right)\cdot \left(-6,\,8\right)=0\\ \\ -6v_{1}+8v_{2}=0\\ \\ 8v_{2}=6v_{1}\\ \\ v_{2}=\dfrac{6v_{1}}{8}\\ \\ \boxed{v_{2}=\dfrac{3v_{1}}{4}}$


Fazendo a paremetrização

$\left\{ \begin{array}{l} v_{1}=t\\ \\ v_{2}=\,^{3}\!\!\!\diagup\!\!_{4}\cdot t \end{array} \right.$


Encontramos as coordenadas do vetor $\mathbf{v}$, em função do parâmetro $t$. Assim,

$\mathbf{v}=\left(t,\,\dfrac{3t}{4} \right )\\ \\ \boxed{\mathbf{v}=\dfrac{t}{4}\cdot \left(4,\,3 \right )}$


Como o módulo de $\mathbf{v}$ é $4$, então

$\left\|\mathbf{v}\right\|=4\\ \\ \left\|\dfrac{t}{4}\cdot \left(4,\,3 \right )\right\|=4\\ \\ \left|\dfrac{t}{4}\right|\cdot\left\| \left(4,\,3 \right )\right\|=4\\ \\ \dfrac{\left|t\right|}{4}\cdot\sqrt{4^{2}+3^{2}}=4\\ \\ \dfrac{\left|t\right|}{4}\cdot\sqrt{16+9}=4\\ \\ \dfrac{\left|t\right|}{4}\cdot\sqrt{25}=4\\ \\ \dfrac{\left|t\right|}{4}\cdot 5=4\\ \\ \left|t\right|=\dfrac{4\cdot 4}{5}\\ \\ \left|t\right|=\dfrac{16}{5}\\ \\ t=\pm \dfrac{16}{5}\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} t=\dfrac{16}{5}&\text{ ou }&t=-\dfrac{16}{5} \end{array}}$


Substituindo os valores encontrados para $t$ nas coordenadas do vetor $\mathbf{v}$, chegamos a

$\mathbf{v}=\dfrac{\pm \,^{16}\!\!\!\diagup\!\!_{5}}{4}\cdot \left(4,\,3 \right )\\ \\ \mathbf{v}=\pm \,^{4}\!\!\!\diagup\!\!_{5}\cdot \left(4,\,3 \right )\\ \\ \mathbf{v}=\pm \left(\,^{16}\!\!\!\diagup\!\!_{5},\,\,^{12}\!\!\!\diagup\!\!_{5} \right )\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} \mathbf{v}=\left(\,^{16}\!\!\!\diagup\!\!_{5},\,\,^{12}\!\!\!\diagup\!\!_{5} \right )&\text{ ou }&\mathbf{v}=\left(\,^{-16}\!\!\!\diagup\!\!_{5},\,\,^{-12}\!\!\!\diagup\!\!_{5} \right ) \end{array} }$