Question

Obtenha x e y tal que x + y √3 = 7 + 5√3

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$x+y\sqrt{3}=7+5\sqrt{3}$


observando a expressão acima, uma escolha óbvia para $x$ e $y$ seria

$\bullet\;\;x=7\\ \bullet\;\;y=5$


No entanto, como esta é uma equação linear a duas variáveis, existem infinitos valores para $x$ e $y$ que satisfazem a equação.


Isolando $x$ no lado esquerdo da igualdade, temos

$x=7+5\sqrt{3}-y\sqrt{3}\\ \\ \boxed{x=7+\left(5-y \right )\sqrt{3}}$


Fazendo a parametrização

$\left\{ \begin{array}{l} x=7+\left(5-t \right )\sqrt{3}\\ y=t \end{array} \right.$


Obtemos todos os pares ordenados que são soluções da equação dada. Eles são da forma

$\left(x;\,y \right )=\left(7+\left(5-t \right )\sqrt{3};\,\,t \right ),\;\;\;t \in \mathbb{R}$

A solução particular dada inicialmente pode ser obtida, simplesmente fazendo $t=0$.


Vamos obter algumas outras soluções, para valores diferentes de $t$:

para $t=1$, temos

$\bullet\;\;x=7+4\sqrt{3}\\ \bullet\;\;y=1$


para $t=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}+5$, temos

$\bullet\;\;x=7+\left[\,5-\left(\dfrac{7\sqrt{3}}{3}+5 \right )\, \right ]\sqrt{3}\\ \\ x=7+\left[\,5-\dfrac{7\sqrt{3}}{3}-5\, \right ]\cdot \sqrt{3}\\ \\ x=7+\left[\,-\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\, \right ]\cdot \sqrt{3}\\ \\ x=7+\left[\,-\dfrac{7\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}\, \right ]\\ \\ x=7+\left[\,-\dfrac{7\cdot 3}{3}\, \right ]\\ \\ x=7+\left[\,-7\, \right ]\\ \\ x=7-7\\ \\ x=0\\ \\ \\ \bullet\;\;y=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}+5$