Question

determine os valores reais de m para os quais existe x tal que cos x= 2m + 4

Answer 1

O cosseno de um ângulo qualquer vale no máximo $1$ e no mínimo $-1$.

Então:

$-1\le2m+4\le1$

Temos duas inequações:

$2m+4\ge-1$
$2m\ge-4-1$
$2m\ge-5$
$m\ge\dfrac{-5}{2}$

A outra:

$2m+4\le1$
$2m\le1-4$
$2m\le-3$
$m\le\dfrac{-3}{2}$

Logo:

$\text{S}=\{m\in\mathbb{R}~|~-\frac{5}{2}\le m\le-\frac{3}{2}\}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Migatn, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar os valores reais de "m" para os quais existe "x" tal que:

cos(x) = 2m + 4

ii) Veja: o cosseno de um ângulo varia de "-1" (que é o seu menor valor) até "+1" (que é o seu maior valor).

iii) Então deveremos circunscrever o valor de cos(x) aos limites de (-1) até (+1). Com isso, faremos assim, veja:

-1 ≤ cos(x) ≤ 1 -----mas como cos(x) = 2m+4, então vamos substituir, ficando:
-1 ≤ 2m+4 ≤ 1 ---- vamos subtrair "4" de cada membro da desigualdade. Com isso, ficaremos assim:

-1 - 4 ≤ 2m+4 - 4 ≤ 1 - 4 ----- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:
- 5 ≤ 2m ≤ -3 ---- agora dividiremos por "2" cada membro da desigualdade, com o que ficaremos:

- 5/2 ≤ 2m/2 ≤ -3/2 ---- como "2m/2 = m", ficaremos apenas com:
- 5/2 ≤ m ≤ - 3/2  --- Pronto. Esta é a resposta. O valor de "m" deverá estar circunscrito ao intervalo fechado acima, ou seja "m" deverá ser maior ou igual a "-5/2" e menor ou igual a "-3/2".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.