Question

determine os valores de abec, sabendo que as raizes da equacao 3x³ + ax² + bx +c= 0 sao 1, -1 e 5

Answer 1

Pelas relações de Girard:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}= -\frac{b}{a}$

Em que a soma das raízes é igual a b (no nosso caso é onde está o "a") sobre a (que nosso caso é 3)

$x_{1}+x_{2}+x_{3}= -\frac{b}{a}4 \\\\ 1-1+5= -\frac{a}{3} \\\\ -\frac{a}{3} = 5 \\\\ -a = 15 \\\\ \boxed{\boxed{a = -15}}$


Segunda relação:

$x_{1} \cdot x_{2}+x_{1} \cdot x_{3}+x_{2} \cdot x_{3} = \frac{c}{a} \\\\ (1) \cdot (-1)+(1) \cdot (5)+(-1) \cdot (5) = \frac{b}{3} \\\\ -1+5-5 = \frac{b}{3} \\\\ \frac{b}{3} = -1 \\\\ \boxed{\boxed{b = -3}}$


Terceira relação:

$x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\frac{d}{a} \\\\ (1) \cdot (-1) \cdot (5) = -\frac{c}{a} \\\\ -5 = -\frac{c}{3} \\\\ \boxed{\boxed{c = 15}}$