Question

Determine os pontos P e Q onde a circunferência $x^{2} + y^{2} -4x +6y=0$encontra a reta 3x+2y+12 =0

Answer 1

Isolando uma das incógnitas na equação da reta:

$3x+2y+12=0\\\\ 2y=-3x-12\\\\ y=-\frac{3}{2}x-6$

Substituindo o valor de y acima na equação da circunferência:

$x^2+y^2-4x+6y=0\\\\ x^2+(-\frac{3}{2}x-6)^2-4x+6(-\frac{3}{2}x-6)=0\\\\ x^2+\dfrac{9}{4}x^2+18x+36-4x-9x-36=0\\\\ \dfrac{13}{4}x^2+5x=0\\\\ 13x^2+20x=0\\\\ x^2+\dfrac{20}{13}x=0\\\\ x(x+\dfrac{20}{13})=0\\\\\\ \Longrightarrow x_1=0~~e~~x_2=-\dfrac{20}{13}$

Calculando o valor de y para cada x encontrado:

$y=-\frac{3}{2}x-6\\\\ x_1=0\Longrightarrow y_1=-\dfrac{3}{2}\cdot0-6=0-6\Longrightarrow y_1=-6\\\\ x_2=\dfrac{20}{13}\Longrightarrow y_2=-\dfrac{3}{2}\cdot\left(-\dfrac{20}{13}\right)-6=\dfrac{30}{13}-6\Longrightarrow y_2=-\dfrac{48}{13}$

Portanto, as interseção entre a circunferência e a reta são os pontos $\boxed{(0,-6)}$ e $\boxed{\left(-\dfrac{20}{13},-\dfrac{48}{13}\right)}$