Question

determine o vetor w que é ortogonal simultaneamente aso vetores u=(2,3,-4) e v=(1,2,-3) e tem modulo 5.

Answer 1

Um vetor w = (a,b,c) ortogonal a u e v implica em:

$\displaystyle \vec{w} \cdot \vec{u} = 0 \\ \\ (a,b,c) \cdot (2,3,-4) = 0 \\ \\ 2a+3b-4c=0 \\ \\ ==== \\ \\ \vec{w} \cdot \vec{v} = 0 \\ \\ (a,b,c) \cdot (1,2,-3) = 0 \\ \\ a+2b-3c=0$

Daí, temos o seguinte sistema linear:

$\displaystyle \left \{ {{2a+3b-4c=0 } \atop {a+2b-3c=0}} \right.$

Multiplicando o segundo membro por -2, obtemos:

$\displaystyle \left \{ {{2a+3b-4c=0 } \atop {-2a-4b+6c=0}} \right. \\ \\ \\ -b+2c=0 \\ \\ -b=-2c \\ \\ b=2c$

Portanto a é igual:

$2a+3b-4c=0 \\ \\ 2a+3 \cdot 2c - 4c = 0 \\ \\ 2a+6c-4c=0 \\ \\ 2a+2c=0 \\ \\ 2a=-2c \\ \\ a=-c$

De acordo com a premissa, temos:

$\displaystyle || \vec{w} || = 5 \\ \\ \\ \sqrt{a^2+b^2+c^2} = 5 \\ \\ \\ a^2+b^2+c^2=5^2 \\ \\ \\ a^2+b^2+c^2 = 25 \\ \\ \\ (-c)^2 + (2c)^2 + c^2 = 25 \\ \\ \\ c^2+4c^2+c^2 = 25 \\ \\ \\ 6c^2=25 \\ \\ \\ c = \sqrt{ \frac{25}{6} } \\ \\ \\ c = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{6}} \\ \\ \\ c=\frac{5}{\sqrt{6}} \\ \\ \\ c = \frac{5}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ \\ \\ c = \frac{5 \sqrt{6}}{6}$

Portanto a e b serão:

$\displaystyle a = -c \\ \\ a = - \frac{5 \sqrt{6}}{6} \\ \\ ==== \\ \\ b = 2c \\ \\ \\ b= 2 \cdot \frac{5 \sqrt{6}}{6} \\ \\ \\ b = \frac{10 \sqrt{6}}{6} \\ \\ \\ b = \frac{5 \sqrt{6}}{3}$

E o vetor procurado é:

$\displaystyle \boxed{\boxed{ \vec{w} = \bigg( - \frac{5 \sqrt{6}}{6} , \frac{5 \sqrt{6}}{3} , \frac{5 \sqrt{6}}{6} \bigg) }}$