Question

determine o valor positivo de M para que a equação mx2-(m+1)x+1=0 tenha uma raiz igual a quarta parte da outra.

Answer 1

Se uma raiz é a quarta parte da outra podemos representá-las por  $r \ e \ \frac{r}{4}$

Podemos calcular a soma e o produto destas raízes:

$S=r+\frac{r}{4}=\frac{5r}{4}\\ \\ P=r*\frac{r}{4}=\frac{r^2}{4}$

Da equação temos que:  $S=\frac{m+1}{m}\\ \\ P=\frac{1}{m}$

Dai podemos escrever: 

$\frac{m+1}{m}=\frac{5r}{4}\Rightarrow5r=\frac{4m+4}{m}\Rightarrow r=\frac{4m+4}{5m}\Rightarrow r^2=\frac{16m^2+32m+16}{25m^2}\\ \\ \\ \frac{1}{m}=\frac{r^2}{4} \Rightarrow r^2=\frac{4}{m}\\ \\ Logo:\\ \\ \frac{16m^2+32m+16}{25m^2}=\frac{4}{m}$

Resolvendo esta equação chegamos a dois valores possíveis para m: 4 e 1/4