Question

determine o valor positivo de K para a equação x2-(k+1)x+(10+k)=0 tenha uma raiz igual ao dobro da outra.

Answer 1

Vamos lá:

$\text{soma e produto:}\\ \\ S=\frac{-b}{a}\\ \\ x'+x''=\frac{-b}{a}\\ \\ 2x+x=\frac{-(-(k+1))}{1}\\ \\ 3x=-(-k-1)\\ \\ 3x=k+1\\ \\ x=\frac{k+1}{3}\\ \\ P=\frac{c}{a}\\ \\ x'\cdot x''=\frac{c}{a}\\ \\ 2x\cdot x=\frac{10+k}{1}\\ \\ 2x^{2}=10+k\\ \\ x^{2}=\frac{10+k}{2}\\ \\ \text{substituindo:}\\ \\ \left[\frac{(k+1)}{3}\right]^{2}=\frac{10+k}{2}\\ \\ \frac{(k^{2}+2k+1)}{9}=\frac{10+k}{2}\\ \\ 2\cdot (k^{2}+2k+1)=9\cdot (10+k)\\ \\ 2k^{2}+4k+2=90+9k\\ \\ 2k^{2}+4k-9k+2-90=0$

$2k^{2}+4k-9k+2-90=0\\ \\ 2k^{2}-5k-88=0\\ \\ \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 2\cdot (-88)\\ \\ \Delta=25+704\\ \\ \Delta=729\\ \\ k=\frac{-(-5)\pm \sqrt{729}}{2\cdot 2}\to k=\frac{5\pm 27}{4}\\ \\ k'=\frac{32}{4}\to \boxed{k'=8}\\ \\ k''=\frac{-22}{4}\to k''=-\frac{11}{2}\ \text{(descarta)}$

Portanto o valor de k para que a equação tenha uma raiz igual ao dobro da outra é de k=8.

Espero ter ajudado.

Answer 2

Primeiro faremos a soma e o produto das raízes:

S = -b/a = -[-(k+1)]/1 = k+1
P = c/a = (10+k)/1 = 10+k

como queremos que uma raíz seja o dobro da outra, supondo o x" sendo o dobro do x'(x" = 2x'), acontecerá o seguinte:

S = x'+x" = x'+(2x') = 3x'
e
P = x'•x" = x'•(2x') = 2x'²

agora substituindo na equação de cima, temos:

S = k+1
3x' = k+1
x' = (k+1)/3
x' = k/3 + 1/3

e

P = 10+k
2x'² = 10+k

agora substituindo o x' acima nessa equação:

2(k/3 + 1/3)² = 10+k
2[(k/3)²+2(k/3)(1/3)+(1/3)²] = 10+k
2(k²/9 + 2k/9 + 1/9) = 10+k
2k²/9 + 4k/9 + 2/9 = 10+k
(2k²+4k+2)/9 = 10+k
2k²+4k+2 = 9(10+k)
2k²+4k+2 = 90+9k
2k²+4k+2-90-9k = 0

2k²-5k-88 = 0

∆ = b²-4ac
∆ = (-5)²-4(2)(-88)
∆ = 25+704
∆ = 729

k = (-b±√∆)/2a
k = [-(-5)±√729)/2•2
k = (5±27)/4

como só queremos o positivo, descartamos o sinal ( - ).

k' = (5+27)/4
k = 32/4

k = 8