Question

Determine o valor de x , XER de modo que a sequencia (x-3;x²+2;5x+3)seja PA​

Answer 1

Resposta:

O valor de x, para que a sequência seja uma Progressão Aritmética, é:

• x = 1 ou
• x = 2.

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo a passo:

Dada uma progressão aritmética, com 03 termos consecutivos "a₁", "a₂" e "a₃", sabemos que a₂ é a média aritmética de a₁ e a₃. Ou seja:

$a_{2} = \frac{a_{1}+a_{3}}{2}$

É muito importante "fixarmos" este conceito, pois ele será utilizado para resolvermos o problema dado na Tarefa.

Progressão Aritmética dada: (x - 3; x² + 2; 5x + 3).

Como os termos são consecutivos, faremos a expressão algébrica que nos dá a média aritmética destes termos:

• a₁: x - 3;
• a₂: x² + 2;
• a₃: 5x + 3.

$x^{2}+2 = \frac{(x - 3)+(5x+3)}{2}$

Agora, passemos à resolução da expressão algébrica:

$x^{2}+2 = \frac{(x - 3)+(5x+3)}{2}\\\\x^{2} + 2 = \frac{x - 3 + 5x + 3}{2}\\\\2.(x^{2}+2) = x + 5x - 3 + 3\\\\2.(x^{2}) + 2.(2) = 6x\\\\2x^{2} + 4 = 6x\\\\2x^{2} - 6x + 4 = 0\\\\2.(x^{2} - 3x + 2) = 0\\\\x^{2} - 3x + 2 = \frac{0}{2} \\\\x^{2} - 3x + 2 = 0$

Façamos a resolução da equação de segundo grau, pelo método da fatoração:

$x^{2} - 3x + 2 = 0\\\\(x - 2).(x - 1) = 0\\\\(I): (x - 2) = 0\\x - 2 = 0\\x = 0 + 2\\x = 2\\\\(II): (x - 1) = 0\\x - 1 = 0\\x = 0 + 1\\x = 1$

Logo, os valores de x são x = 1 ou x = 2. Com estes valores, façamos a sequência, a fim de verificarmos se é uma Progressão Aritmética:

• Para x = 1:

a₁: x - 3 → a₁ = 1 - 3 → a₁ = -2.

a₂: x² + 2 → a₂ = (1)² + 2 → a₂ = 1 + 2 → a₂ = 3.

a₃: 5x + 3 → a₃ = 5.(1) + 3 → a₃ = 5 + 3 → a₃ = 8.

Façamos as diferenças entre os termos consecutivos, para verificarmos a razão, se é constante:

a₂ - a₁ = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.

a₃ - a₂ = 8 - 3 = 5.

Portanto, x = 1 configura uma sequência do tipo "Progressão Aritmética", com razão "r" igual a 5.

• Para x = 2:

a₁: x - 3 → a₁ = 2 - 3 → a₁ = -1.

a₂: x² + 2 → a₂ = (2)² + 2 → a₂ = 4 + 2 → a₂ = 6.

a₃: 5x + 3 → a₃ = 5.(2) + 3 → a₃ = 10 + 3 → a₃ = 13.

Façamos as diferenças entre os termos consecutivos, para verificarmos a razão, se é constante:

a₂ - a₁ = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7.

a₃ - a₂ = 13 - 6 = 7.

Também, para x = 2, a sequência é uma Progressão Aritmética de razão "r" igual a 13.

RESPOSTA: O conjunto solução é S = {x ∈ R | x = 1 ou x = 2}.