Question

determine o valor de n para o vetor v=(n,2/5, 4/5) para que seja unitário

Answer 1

Olá


$\displaystyle \vec{v}=(n, \frac{2}{5} , \frac{4}{5} ) \\ \\ \text{Calculando o modulo e igualando a 1} \\ \\ \\ \vec{v}= \sqrt{n^2+( \frac{2}{5} )^2+ (\frac{4}{5})^2 } =1 \\ \\ \\ \vec{v}= \sqrt{n^2+ \frac{4}{25} + \frac{16}{25} } =1 ~~~~~ ~~~~ \text{Faz o MMC} \\ \\ \\ \vec{v}= \sqrt{n^2+ \frac{20}{25} }} = 1 ~~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~\text{Simplifica a fracao por 5}\\ \\ \\ \vec{v}= \sqrt{n^2+ \frac{4}{5} } =1$

$\displaystyle \vec{v}= (\sqrt{n^2+ \frac{4}{5} })^2 =(1)^2 }~~~~~~ \text{Eleva os dois lados ao quadrado para } \\ ~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~ ~\text{Eliminar a raiz quadrada.} \\ \\ \\ \\ \vec{v}= n^2+ \frac{4}{5} } =1 } \\ \\ n^2+ \frac{4}{5} -1 \\ \\ n^2- \frac{1}{5}=0 ~~~~~ ~~~~~ ~\text{Tira o MMC e efetua a conta} \\ \\ \\ \\ \text{Agora e so fazer por bhaskara para encontrar o valor do n}$

$\displaystyle n^2- \frac{1}{5} =0 \\ \\ \triangle=0^2-4\cdot 1\cdot (- \frac{1}{} ) \\ \triangle= \frac{4}{5} \\ \\ \\ X_1= \frac{ \sqrt{ \frac{4}{5} }}{2} ~=~ \frac{ \frac{ \sqrt{4} }{ \sqrt{5} } }{2} ~=~ \frac{ \frac{2}{ \sqrt{5} } }{2} ~~~~ \text{Multiplicacao de fracoes, multiplica a }\\ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~ \text{primeira pelo inverso da segunda}$


$\frac{\diagup\!\!\!\!2}{ \sqrt{5} }\cdot \frac{1}{\diagup\!\!\!\!2} = \frac{1}{ \sqrt{5} }~ \text{Racionaliza,multiplicando emcima e embaixo por raiz de5} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} } =\boxed{\boxed{ \frac{ \sqrt{5} }{5} }}~~~~\longleftarrow~~X_1 \\ \\ \\ \\ \text{Como nosso coeficiente do "b" na formula de bhaskar e zero} \\ \text{Entao as duas raizes tem o mesmo valor so que com sinais diferentes} \\ \\ \text{Entao}$

$\displaystyle \boxed{\boxed{X_2= \frac{ \sqrt{5} }{5} }}$

$\text{Para que o vetor v seja unitario, n tem que ser igual a} \\ \\ \\\boxed{\boxed{ n= \frac{ \sqrt{5} }{5}}} ~~~~ ~~~~ ~~ou~~~~ ~~~~ ~~\boxed{\boxed{n=- \frac{ \sqrt{5} }{5} }}$

Answer 2

Um vetor unitário é aquele cujo módulo é igual a 1:
exemplo:
$\hat{i}= \left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right] \\\\\hat{j}= \left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]$
são vetores unitários, pois:
$|\hat{i}|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=\sqrt{1}=1=|\hat{j}|$

então precisamos definir um número n tal que o módulo do vetor v seja igual a 1:

$\displaystyle \vec{v}=\left(n,\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)=\left[\begin{array}{c}n\\\\\frac{2}{5}\\\\\frac{4}{5}\end{array}\right]$
tal que
$\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{n^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=1\\\\i)~~~~\sqrt{n^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=1\\\\ii)~~~n^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1^2\\\\iii)~~n^2+\frac{4}{25}+\frac{16}{25}=1\\\\iv)~~n^2+\frac{20}{25}=1\\\\v)~~~n^2=1-\frac{20}{25}\\\\vi)~~n^2=\frac{5}{25}\\\\vii)~n=\sqrt{\frac{5}{25}}=\boxed{\frac{\sqrt5}{5}}$

ou seja, para o vetor v ser um vetor unitário, n deverá ser:
$\displaystyle n=\frac{\sqrt5}{5}$
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$\displaystyle \vec{v}=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)$