Question

Determine o valor de ㏒[2] 3 * ㏒[3] 4 * ㏒[4] 5 *...* log[62] 63

Answer 1

Mudança de base de um logaritmo (base b para base c):

$\boxed{\boxed{log_{b}(a)=\dfrac{log_{c}(a)}{log_{c}(b)}}}$
_____________________________

$log_{2}(3)\cdot log_{3}(4)\cdot log_{4}(5)\cdot...\cdot log_{61}(62)\cdot log_{62}(63)$

Colocando todos os logaritmos em base 2:

$\dfrac{log_{2}(3)}{log_{2}(2)}\cdot\dfrac{log_{2}(4)}{log_{2}(3)}\cdot\dfrac{log_{2}(5)}{log_{2}(4)}\cdot...\cdot\dfrac{log_{2}(62)}{log_{2}(61)}\cdot\dfrac{log_{2}(63)}{log_{2}(62)}$

Podemos cancelar todos os termos que aparecem simultaneamente no numerador e denominador, sobrando apenas

$\dfrac{1}{log_{2}(2)}\cdot log_{2}(63)$

Como $log_{2}(2)=1$, temos

$\boxed{\boxed{log_{2}(3)\cdot log_{3}(4)\cdot log_{4}(5)\cdot...\cdot log_{61}(62)\cdot log_{62}(63)=log_{2}(63)}}$