Question

Determine o valor da expressão , na qual i é a unidade imaginária.

Answer 1

Resposta:

$- \frac{3}{5}-\frac{6}{5} i$

Explicação passo a passo:

Observação 1  → Adição algébrica ( inclui adição e subtração ) de frações

Para se adicionar algebricamente frações elas têm de ter o mesmo denominador.

$\frac{1-i}{1+i}-\frac{21}{1+3i}$

Para que tenham o mesmo denominador a primeira fração vai ser

multiplicada, no numerador e no denominador, por  1 + 3i.

A segunda fração, procedimento igual só que aqui vai ser multiplicada por

1 + i.

Observação 2 → $\sqrt{-1} =i$  é a unidade imaginária

$i^2=(\sqrt{-1} )^2=-1$

Cálculos auxiliares

( 1 - i ) * ( 1 + 3 i )    numerador da 1ª fração

= 1 * 1 + 1 * 3i - i * 1 - i * 3i

= 1 + 3i - i - 3i²  

= 1 + ( 3 - 1 ) i - 3 ( - 1)    

= + 1 + 3 + 2i

= 4 + 2i

2i * (1 + i )       numerador da 2ª fração

= 2i  +2i²

= 2 * ( - 1 ) + 2i

= - 2 + 2i

                                             

( 1 + i )  * ( 1 + 3i )          denominador  

= 1 * 1 + 1* 3i +  i * 1 + i * 3i  

= 1 + 3i + i + 3i²

= 1 + 4i + 3 * ( - 1 )

= 1 - 3+ 4i

= - 2 + 4i    

Fim de cálculos auxiliares

$\frac{4+2i}{-2+4i} -\frac{-2+2i}{-2+4i}$

$\frac{4+2i-(-2+2i)}{-2+4i}$

$\frac{4+2i+2-2i}{-2+4i}$

$\frac{4+2}{-2+4i}$

$\frac{6}{-2+4i}$

$\frac{6:2}{-2:2+4i:2}=\frac{3}{-1+2i}$  

Fazendo com que o denominador fique com expressão sem " i ",

multiplica-se , o numerador e o denominador pelo conjugado de

( - 1 + 2i ).

O seu conjugado é (- 1 - 2i )

Observação 3 → Conjugado de um número complexo

Mantém-se a parte real e muda-se o sinal da parte imaginária

Exemplo;

Conjugado de - 1 + 2i = - 1 - 2i  

$\frac{3* (- 1-2i )}{(-1+2i)*(-1-2i)}$

Cálculo de ( - 1 + 2i ) * ( - 1 - 2i ) = - 1 * ( - 1 ) - 1 * ( - 2i ) + 2i  (- 1 ) + 2i * ( - 2i )

= 1 +2i -2i - 4i²

= 1 - 4 * ( - 1 ) = 1 + 4 = 5

Continuando

$\frac{3* (- 1-2i )}{(-1+2i)*(-1-2i)} = \frac{- 3 - 6i }{5}$

$= - \frac{3}{5}-\frac{6}{5} i$

Bons estudos.

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( * ) multiplicação