determine o valor da constante a para que 3+ai/1+i seja um numero real
ME AJUDEMMM!!
Soluções para a tarefa
Resposta:Tem-se que:
z = (1+2i)/(2+ai) --- Antes, vamos racionalizar a expressão. Para isso, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser (2-ai). Assim:
z = (1+2i)*(2-ai)/(2+ai)*(2-ai) ---- efetuando o produto indicado, ficamos com:
z = (2-ai+4i-2ai²)/(4-a²i²), ou:
z = (2+4i-ai-2ai²)/(4-a²i²) ------ veja que i² = -1. Assim:
z = (2+4i-ai-2a*(-1))/(4-a²*(-1))
z = (2+4i-ai+2a)/(4+a²) --- no numerador, nos termos (4i-ai), vamos colocar "i" em evidência, ficando:
z = [2 + (4-a)i + 2a]/(4+a²) -- ordenando o numerador, ficamos com:
z = [2+2a + (4-a)i]/(4+a²)
Antes de irmos para as questões "a" e "b", veja que o complexo "z", para existir, deverá ter o seu denominador diferente de zero. Logo, deveremos ter que:
4+a² ≠ 0
a² ≠ -4
a ≠ ±√(-4) ---- como o delta é negativo e "a" é positivo, isto significa dizer que o denominador será SEMPRE positivo para qualquer valor de "a". Nesse caso, não vamos nos preocupar com o denominador de "z".
Bem, visto isso, vamos às questões:
a) dê o valor de "a" para que "z" seja um número real.
O nosso "z" é este:
z = [2+2a + (4-a)i]/(4+a²)
Para que "z" seja um número real, a sua parte imaginária (aquela que depende de "i") deverá ser igual a zero. Assim, deveremos ter que, para que "z" seja um número real:
4-a = 0
- a = - 4
a = 4 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a". Para que "z" seja um número real, "a" deverá ser igual a "4".
b) dê o valor de "a" para que "z" seja um número imaginário puro.
O nosso "z" é este:
z = [2+2a + (4-a)i]/(4+a²)
Para que "z" seja um imaginário puro, a sua parte real deverá ser igual a zero. Assim, deveremos ter que:
2 + 2a = 0
2a = - 2
a = -2/2
a = -1 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b". Para que "z" seja um número imaginário puro, "a" deverá ser igual a (-1).
É isso aí.
OK?