Matemática, perguntado por kwai122334455, 5 meses atrás

Determine o ponto Q, simétrico de P em relação à reta r. Dados P(-3, 2) e r:x-y+1 = 0.

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto "Q" está montado com as seguintes coordenadas:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Q = (1,\,-2)\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} r: x - y + 1 = 0\\P = (-3, 2)\\Q = S(P) = \:?\end{cases}$

Para resolver esta questão devemos:

Recuperar o coeficiente angular da reta "r". Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro da equação da reta "r" e recuperar o coeficiente do termo de x, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x - y + 1 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -y = -x - 1\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = x + 1\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{r} = 1\end{gathered}$}$

Obter o coeficiente angular da reta "s":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:\:r\perp s\Longrightarrow m_{r}\cdot m_{s} = -1 \Longrightarrow m_{s} = -\frac{1}{m_{r}}\end{gathered}$}$

Então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{s} = -\frac{1}{1} = -1\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{s} = -1\end{gathered}$}$

Determinar a equação da reta "s" perpendicular à reta "r". Para isso, devemos utilizar a fórmula ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = m_{s}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Substituindo as coordenadas do ponto "P" e o valor do coeficiente angular da reta "s" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = (-1)\cdot(x - (-3))\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 =(- 1)\cdot(x + 3)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = -x - 3\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -x - 3 + 2\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -x - 1\end{gathered}$}$

Portanto, a equação da reta "s" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} s: y = -x - 1\end{gathered}$}$

Calcular o ponto de interseção "M" entre as retas "r" e "s". Para isso, devemos resolver o sistema formado pelas equações das retas "r" e "s". Então, temos:

$\Large\begin{cases} y = x + 1\:\:\:\:\:\:\:\bf 1^{\underline{o}}\\y = -x - 1\:\:\:\:\bf2^{\underline{o}}\end{cases}$

Substituindo o valor de "y" na 2ª equação, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x + 1 = -x - 1\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x + x = -1 -1\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2x = -2\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = -\frac{2}{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = -1\end{gathered}$}$

Substituindo o valor de "x" na 1ª equação, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -1 + 1 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:M = (-1,\,0)\end{gathered}$}$

Determinar o ponto "Q". Para isso, devemos perceber que o ponto de interseção "M" é o ponto médio do segmento PQ. Então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x_{M},\,y_{M}) = \bigg(\frac{x_{P} + x_{Q}}{2},\,\frac{y_{P} + y_{Q}}{2}\bigg)\end{gathered}$}$