Question

Determine o ponto P(x , 0) de modo que ele seja equidistante a A(2, -4) e B(-5 , 3)

Answer 1

O ponto que se deseja determinar é P(-1, 0).

Explicação

Inicialmente, vamos relembrar a fórmula da distância entre dois pontos. Se $\mathsf{A(x_A, y_A)}$ e $\mathsf{B(x_B, y_B)}$ são dois pontos no plano, então a distância entre A e B é dada por:

$\mathsf{d_{AB}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},}$

em que:

• $\mathsf{\Delta x=x_A-x_B}$ ou $\mathsf{\Delta x= x_B-x_A}$;
• $\mathsf{\Delta y = y_A-y_B}$ ou $\mathsf{\Delta y = y_B-y_A}$.

Como o ponto P(x, 0) é equidistante (igualmente distante) dos pontos A(2, -4) e B(-5, 3), então temos:

$\mathsf{d_{PA}=d_{PB}}\implies\\\\\\\implies\mathsf{\sqrt{(x-2)^2+[0-(-4)]^2}=\sqrt{(x+5)^2+(0-3)^2}}\implies\\\\\\\implies\mathsf{\sqrt{(x-2)^2+4^2}=\sqrt{(x+5)^2+(-3)^2}}\implies\\\\\\\implies\mathsf{(x-2)^2+16=(x+5)^2+9}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x^2-4x+4+16=x^2+10x+25+9}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-4x+20=10x+34}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-4x-10x=34-20}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-14x=14}\implies\\\\\\\implies\boxed{\boxed{\mathsf{x=-1}}}$

Logo, o valor de x é igual a -1 e, consequentemente, o ponto P é (-1, 0).