Question

Determine o polinomio P (x) o 1°grau tal que P (1-i) = i e P (-i) = -1+2i

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gorete, que a resolução parece simples, embora apenas um pouquinho trabalhosa. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o polinômio P(x), do 1º ghrau, tal que:

P(1-i) = i; e P(-i) = -1+2i.

ii) Antes veja que um polinômio do primeiro grau é aquele da forma:

P(x) = ax + b        . (I)

iii) Agora vamos para a lei de formação do polinômio P(x). Para isso, iremos na expressão (I) acima [P(x) = ax + b] e substituiremos P(x) por "i" e substituiremos "x" por "1-i" para encontrar P(1-i); e depois substituiremos P(x) por "-1+2i" e substituiremos o "x" por "-i" para encontrar P(-i). Assim, teremos:

iii.1) Encontrando P(1-i) = i ----- Para isso, iremos na expressão (I) [P(x) = ax + b] e substituiremos P(x) por "i" e substituiremos "x" por "1-i". Fazendo isso, teremos:

i = a*(1-i) + b ----- efetuando o produto indicado, teremos:

i = a*1 - a*i + b ---- ou apenas:

i = a - ai + b ----- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

a - ai + b = i      . (II)

iii.2) Encontrando P(-i) = -1+2i. Para isso, iremos na expressão (I) [P(x) = ax + b] e substituiremos P(x) por "-1+2i" e substituiremos "x" por "-i". Fazendo isso, teremos:

-1+2i = a*(-i) + b ----- desenvolvendo, teremos:

-1 + 2i = - ai + b ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos:

- ai + b = - 1 + 2i     . (III)

iii.3) Agora vamos fazer o seguinte: vamos multiplicar a expressão (III) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro com a expressão (II). Fazendo isso, teremos:

a - ai + b = i -------- [esta é a expressão (II) normal]

...+ ai - b = 1 - 2i --- [esta é a expressão (III) multiplicada por "-1"]

----------------------------- somando-se membro a membro, teremos:

a + 0 + 0 = i + 1 - 2i ---- ou apenas:

a = i + 1 - 2i ------ como "i+1-2i =1 - i", teremos:

a = 1 - i <----- este é o valor de "a".

iii.4) Agora, para encontrar o valor de "b", vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (II) ou na (III)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o valor de "a" por "1-i". Vamos na expressão (III), que é esta:

-ai + b = -1 + 2i ----- substituindo-se "a" por "1-i", teremos:

-(1-i)*i + b = -1 + 2i ---- efetuando o produto indicado e retirando-se os parênteses, iremos ficar com:

- i +i² + b = -1 + 2i ----- note que "i² = -1". Assim, substituindo, teremos:

- i - 1 + b = - 1 + 2i ---------- isolando "b", ficaremos com:

b = -1 + 2i + i + 1 ----- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

b = 3i <---- Este é o valor de "b".

iv) Assim, o polinômio P(x) = ax + b terá a seguinte conformação, após substituirmos "a" por "1-i" e após substituirmos "b" por "3i". Assim, teremos:

P(x) = (1-i)x + 3i <---- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a conformação do polinômio do primeiro grau pedido [P(x) = ax + b].

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.