Determine o período e a imagem das funções: a) Y=2-5cos(2x/5+30 graus). B) Y=tg (6x + pi/2). Me ajudem!! <3
Soluções para a tarefa
1) Y=2 - 5.cos(2x/5+30º)
Sendo essa a função, já sabemos que ela vai possuir períodos, por ser uma função cosseno.
Primeiramente, o período de uma função periódica é o menor intervalo no eixo X que apresenta um padrão que se repete após esse intervalo.
Essa função pode ser escrita por: y = a + b.cos(rx+q).
Para achar o período, faça T = 2π/r
Nesse caso, r = 2/5. Então
PERÍODO: 15,707
Agora, pensando sobre a imagem dessa função, devemos pensar todos os valores que essa função pode resultar. Ou seja, os seus valores de y que a função pode assumir.
Agora, olhando para a função cosseno, sabemos que ele varia entre 1 e -1. para ele atingir valor máximo, ele deve ser igual a -1. e valor mínimo, deve ser igual a 1. Isso ocorre em ângulos de 180º no círculo trigonométrico, ou seja:
cos(2x/5+30º) para resultar em 1 ou -1, os valores de 2x/5+30º devem ser iguais a 180º, ou em radianos, π.
2x/5+π/6 = π
12x/30 + 5π/30 = π
12x + 5π = 30π
12x = 25π
x = 25π/12 = 6,54.
Portanto, no ponto em que x = 6,54.
Colocando esse valor na função, vamos achar o y máximo: 2 - 5.cos(2*6,54/5+30º) = 7
Portanto, um dos extremos da função tem coordenadas (6.54 , 7 )
Achando agora o valor mínimo para Y, sabemos que se andarmos meio período para frente em x, encontraremos o ponto em Y.
15,707/2 = 7,8535.
Somando com o ponto x que achamos: 7,8535 + 6,54 = 14,39 = 14,4
Colocando esse valor de x na função para achar o valor de Y correspondente: 2 - 5.cos(2*14,4/5+30º) = -3
Portanto, sabemos que em y a função vai variar de 7 a menos 3. Ou seja, a imagem, todos os valores que y podem assumir, vão estar no intervalo [-3,7]
Imf = [-3,7]
Observe o gráfico caso fique em dúvida. :)
2) fazendo o mesmo para a outra função:
Y=tg (6x + pi/2).
a função é desse modo: y = a + b.tg(rx+q)
e o período é calculado por: T = π / r
T = π/6 = T = 0,52
Imagem: Todos os reais.
