Question

determine o número de diagonais de um polígono regular ABCD, sabendo que as bissetrizes internas traçadas dos vértices A e B, formam um ângulo de 36 graus

Answer 1

Utilizando formulações de diagonais e soma de angulos internos, temos que este poligono tem 35 diagonais.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos tentar encontrar que poligono é esse.

Note que ele traça bissetrizes de dois angulos consecutivos e forma um angulo de 36º, ou seja, forma uma triangulo isosceles, onde o angulo diferente é 36º e os outros dois angulos são iguais a metade do angulo do poligono, então temos que pela soma de angulos de um triangulo:

36º + 2.x = 180

2x = 144º

x = 72º

Então o angulo de cada bissetriz é 72º, e como a bissetriz corta um angulo ao meio, então cada angulo tem 144º.

Agora sabemos quanto cada angulo interno tem, agora basta utilizarmos a formula dos angulos internos para descobrir quantos lados tem este poligono:

$A_i=\frac{n-2}{n}.180$

Onde n é o número de lados, e Ai é o angulo interno que já sabemos ser 144º:

$A_i=\frac{n-2}{n}.180$

$144=\frac{n-2}{n}.180$

$144n=(n-2).180$

$144n=180n-360$

$180n-144n=360$

$36n=360$

$n=\frac{360}{36}=10$

Então temos que este poligono tem 10 lados, agora basta usar a formula de número de diagonais:

$D=\frac{n(n-3)}{2}$

Substituindo o valor dos lados:

$D=\frac{10(10-3)}{2}$

$D=\frac{10.7}{2}$

$D=\frac{70}{2}$

$D=35$

Então temos que este poligono tem 35 diagonais.