Question

determine o menor valor da expressão (1/2)^(4x-x^2)

Answer 1

Resposta:

0,0625

Explicação passo-a-passo:

Considere uma função f tal que:

$f(x) = \dfrac{1}{2^{-x^2+4x}}$

$f(x) = 2^{x^2-4x}$

Pois $\dfrac{1}{2^n}=2^{-n}$.

O enunciado pede o valor de f(x') tal que f seja mínimo. Numa função exponencial, o valor é mínimo quando o expoente é o menor possível (para bases maiores que 1), Genericamente chamando uma função g tal que:

$g(x) = b^{h(x)}$

Onde b > 1 e h(x) é uma segunda função. g(x') será mínimo quando h(x') for mínimo. No caso do exercício h(x) = x²-4x, e seu valor é mínimo em seu vértice:

$y_v = \dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$

$y_v =\dfrac{-(-4)^2+4*1*0}{4*1}=\dfrac{-16}{4}=-4$

Portanto, o valor é mínimo quando:

$f(x') = 2^{y_v}=2^{-4}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625$