Question

determine o décimo termo de uma PA, sabendo que a soma dos 48 primeiros termos é igual 1008 e a razão é r=2

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor do 10º termo (a10) de uma PA, sabendo-se que:

(a) A soma dos 48 primeiros termos é igual a "1.008"
(b) A razão (r) é igual a "2".

Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos trabalhar com a soma dos 48 primeiros termos, que é igual a "1.008".
Veja que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada por:

Sn = (a1 + an)*n/2 ----- como a soma é igual a "1.008" e essa soma é dos 48 primeiros termos, então vamos substituir "Sn" por "1.008" e substituir "n" por "48". Assim, ficaremos com:

1.008 = (a1 + an)*48/2 ----- como 48/2 = 24, teremos;
1.008 = (a1+ an)*24 ---- agora note: se dividirmos ambos os membros por "24", iremos ficar apenas com:

42 = (a1 + an) ---- ou apenas:
a1 + an = 42    . (I)

Agora note isto: se formos encontrar qual é o 48º termo (a48), e que será o "an" (que é o último termo da soma acima), teremos isto:

an = a1 + (n-1)*r ----- substituindo "an" por "a48", substituindo "n" por "48" (já que estamos encontrando o valor do 48º termo) e substituindo "r" por "2" que é a razão da PA, então ficaremos com:

a48 = a1 + (48-1)*2
a48 = a1 + (47)*2
a48 = a1 + 47*2
a48 = a1 + 94     . (II) .

Agora vamos voltar à nossa expressão (I), que é esta:

a1 + an = 42 ------- mas como "an" = "a48", então ficaremos com:
a1 + a48 = 42 ---- mas "a48" é igual a "a1+94", conforme vimos na expressão (II) acima. Então vamos substituir "a48" por "a1+94". Assim:

a1 + a1+94 = 42
2a1 + 94 = 42
2a1 = 42 - 94
2a1 = - 52
a1 = - 52/2
a1 = - 26 <--- Este é o valor do 1º termo (a1).

Agora vamos encontrar qual é o valor do 10º termo (a10). Veja que, por força da fórmula do termo geral, então o 10º termo será:

a10 = a1 + 9r ---- substituindo-se "a1" por "-26" e "r' por "2", ficaremos com:

a10 = -26 + 9*2
a10 = - 26 + 18
a10 = - 8 <--- Esta é a resposta. Este é o valor do 10º termo pedido.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.