Considere o lançamento de um objeto descrito pela função f(x) = -x² + 4x +12 em que f representa a altura (em metros) e x representa o tempo (em segundos). A altura máxima que o objeto atinge será de: A)10M B)16M C)12M D)8M E)4M
Soluções para a tarefa
Resposta: B) 16M
Explicação passo-a-passo:
Forma 1 de Resolver:
A altura máxima é atingida bem no meio da parábola. Se resolvermos a função para quando y = 0, descobrimos os pontos que essa parábola corta o eixo x.
- x² + 4x + 12 = 0
Aplicando Bhaskara, sendo a = -1, b = 4 e c = 12 vamos achar as raízes -2 e 6.
A distância entre menos -2 e 6 é 8, e a metade disso é 4. Somando 4 ao -2, temos -2 + 4 = 2.
Assim, x = 2 é o ponto exatamente no meio das raízes, que é quando a parabola atinge a altura máxima.
Aí, é só substituir esse x=2 na função para achar a altura:
-2² + 4*2 + 12 = -4 + 8 + 12 = - 4 + 20 = 16
Forma 2 de Resolver: Aplicando a fórmula do vértice da parábola
O vértice (x, y) da parábola, isso é, as coordenadas do seu ponto máximo (ou mínimo), é dado pela formula:
(-b / 2a , - Δ / 4a)
Isso é:
x = -b / 2a
y = - Δ / 4a
A altura máxima é encontrada por y (eixo y). Assim, basta a gente descobrir
- Δ / 4a
O Δ é a parte da fórmula de Bhaskara que fica dentro da raiz, isso é, b² - 4ac
Nessa equação, temos a = -1, b = 4 e c = 12. Logo:
Δ = 4² - 4*-1*12 = 16 + 48 = 64
Logo:
altura máxima = y do vértice = - Δ / 4a = -64/-4 = 64/4 = 16
Forma 3 de Resolver: Usando derivada (caso já tenha dado essa matéria)
Para achar o tempo (x) em que o objeto atinge a altura máxima, basta derivar a função e igualar a zero.
A derivada de -x² é -2x (desce o expoente e o novo expoente é 2-1 = 1)
A derivada de 4x é 4 (some o x)
A derivada de 12 é 0 (a derivada de qualquer constante é zero)
Logo, a derivada de -x² + 4x + 12 é -2x + 4 + 0 = -2x + 4
Igualando a zero:
-2x + 4 = 0
-2x = -4
x = -4/-2 = 4/2 = 2
Quando x = 2, o objeto atinge a altura máxima. Agora, vamos calcular a altura nesse momento, substituindo o x da função por 2:
-2² + 4*2 + 12 = -4 + 8 + 12 = - 4 + 20 = 16