Question

Determine como m e R pode variar de modo que para todo x exista m com:
A)sen(x) = 2m - 4 /3
B)cos(x) = 2m + 1/ 2m - 1

Answer 1

Uma correção (lógica) ao enunciado:

Determine como  m ∈ ℝ  pode  variar, de modo que exista  x  tal que

a)  sen(x) = (2m – 4)/3

b)  cos(x) = (2m + 1)/(2m – 1)

—————

Lembremos que os valores do seno e do cosseno são limitados ao intervalo
[– 1, 1], ou seja,

Para qualquer  x ∈ ℝ,

     •  – 1 ≤ sen(x) ≤ 1;

     •  – 1 ≤ cos(x) ≤ 1.

—————

a)  $\mathsf{sen(x)=\dfrac{2m-4}{3}}$

Devemos ter,

     $\mathsf{-1\le \dfrac{2m-4}{3}\le 1}$


Multiplique todos os membros por  3:

     $\mathsf{-1\cdot 3\le \dfrac{2m-4}{\diagup\!\!\!\! 3}\cdot \diagup\!\!\!\! 3\le 1\cdot 3}\\\\\\ \mathsf{-3\le 2m-4\le 3}$


Some  4  a todos os membros:

     $\mathsf{-3+4\le 2m-\diagup\!\!\!\! 4+\diagup\!\!\!\! 4\le 3+4}\\\\ \mathsf{1\le 2m\le 7}$


Divida todos os membros por  2:

     $\mathsf{\dfrac{1}{2}\le \dfrac{2m}{2}\le \dfrac{7}{2}}$

     $\mathsf{\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{7}{2}}$   ⮜———   esta é a resposta.

—————

b)  $\mathsf{cos(x)=\dfrac{2m+1}{2m-1}}$

Devemos ter,

     $\mathsf{-1\le \dfrac{2m+1}{2m-1}\le 1 \qquad com~~2m-1\ne 0~\Rightarrow~m\ne \dfrac{1}{2}}$


Isso equivale a escrever:

      $\mathsf{\left|\dfrac{2m+1}{2m-1}\right|\le 1}$


O módulo do quociente é o quociente dos módulos:

     $\mathsf{\dfrac{~|2m+1|~}{~|2m-1|~}\le 1}$


Nesse caso conhecemos o sinal do denominador  |2m – 1|.  Módulo nunca é um número negativo.

Logo, podemos multiplicar os dois membros da desigualdade por  |2m – 1|,  e o sentido da desigualdade é mantido:

     $\mathsf{\dfrac{~|2m+1|~}{~|2m-1|~}\cdot |2m-1|\le 1\cdot |2m-1|}\\\\\\ \mathsf{|2m+1|\le |2m-1|}$


Todos os membros são não-negativos. Logo, a desigualdade se mantém para os quadrados dos membros:

     $\mathsf{|2m+1|^2\le |2m-1|^2}\\\\ \mathsf{(2m+1)^2\le (2m-1)^2}\\\\ \mathsf{4m^2+4m+1\le 4m^2-4m+1}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\!\!\! 4m^2+4m+\diagdown\!\!\!\! 1-\,\diagup\!\!\!\!\!\! 4m^2+4m-\diagdown\!\!\!\! 1\le 0}\\\\ \mathsf{4m+4m\le 0}\\\\ \mathsf{8m\le 0}$


Dividindo todos os membros por  8,  obtemos

     $\mathsf{m\le 0}$    ⮜————    esta é a resposta.

     (e essa sentença já satisfaz a restrição  m ≠ 1/2)


Bons estudos! :-)