Question

Determine, caso existam, as soluções constantes da EDO

Answer 1

Temos a seguinte EDO:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y {}^{2} + y - 2}{x.(y {}^{4} + 1) }$

Note que ela é uma EDO de variáveis separáveis, então vamos iniciar fazendo a separação:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y {}^{2} + y - 2}{x(y {}^{4} + 1)} \\ \\ x.(y {}^{4} + 1)dy = (y {}^{2} + y - 2) dx \\ \\ x.\frac{(y {}^{4} + 1)dy }{ y {}^{2} + y - 2 } = dx \\ \\ \frac{y {}^{4} + 1}{y {}^{2} + y - 2} dy = \frac{dx}{x}$

Integrando ambos os lados da equação:

$\int \frac{y {}^{4} + 1}{y {}^{2} + y - 2} dy = \int \frac{dx}{x}$

Resolvendo as integrais separadamente:

$\int \frac{y {}^{4} + 1}{y {}^{2} + y - 2} dy$

Teremos que fazer a divisão polinômial longa, como isso levaria um tempinho para ser feito, colocarei logo o resultado da divisão dos dois:

$\frac{y {}^{4} + 1 }{y {}^{2} + y - 2} = y {}^{2} - y +3 + \frac{7 - 5y}{y {}^{2} + y - 2 }$

Essa seria a divisão, reescrevendo essa expressão na integral, temos que:

$\int y {}^{2} - y + 3 + \frac{7 - 5y}{y {}^{2} + y - 2} \: dy$

Aplicando a integral em todos os termos:

$\int y {}^{2} dy - \int y dy+ \int 3dy + \int \frac{7 - 5y}{y {}^{2} + y - 2 } dy \\ \\ \frac{y {}^{3} }{3} - y {}^{2} + 3y + \int \frac{7 - 5y}{y {}^{2} + y - 2 } dy$

Aquela integral que restou, deve ser resolvida pelo método das frações parciais, então vamos começar colocando a expressão fatorada do denominador no local do mesmo:

$\int \frac{7 - 5y}{(y - 1).(y + 2)} dy$

Aplicando as frações parciais:

$\frac{7 - 5y}{(y - 1).(y + 2)} = \frac{A }{(y - 1)} + \frac{ B}{(y + 2)} \\ \\ \frac{7 - 5y}{ \cancel{(y - 1).(y - 2)}} = \frac{A(y + 2) + B(y - 1)}{ \cancel{(y - 1).(y + 2} } \\ \\ 7 - 5y = Ay + 2A + By - B$

Agora é só igualar os termos que possuem "y" com os termos que possuem "y" e os termos que possuem "x" com os termos que possuem em "x", logo teremos que:

$\begin{cases}2A - B = 7 \\ A + B = - 5 \: \times ( - 2) \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \begin{cases}2A - B = 7 \\ - 2A - 2B = 10 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{cases} \\ \\ 2 A - B - 2A - 2B = 10 + 7 \\ - 3 B = 17 \longrightarrow B = - \frac{17}{3}$

Substituindo o valor de B em uma das duas equações, encontraremos A:

$A + B = - 5 \longrightarrow A - \frac{17}{3} = - 5 \: \: \: \: \:\\ A = - 5 + \frac{17}{3} \longrightarrow A = \frac{2}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Reescrevendo a integral com esses valores:

$\int \frac{7 - 5y}{y {}^{2} + y - 2} dy\longrightarrow \int \frac{ \frac{2}{3} }{(y - 1)} + \frac{ - \frac{17}{3} }{( y + 2)} dy \\ \\ \frac{2}{3} \int \frac{1}{y - 1} dy - \frac{17}{3} \int \frac{1}{y + 2} dy \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{2}{3} \ln( |y - 1| ) - \frac{17}{3} \ln( |y + 2| ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esse resultado lá onde paramos:

$\boxed{ \frac{y {}^{3} }{3} - \frac{y {}^{2} }{2} + 3y + \frac{2}{3} \ln( |y - 1| ) - \frac{17}{3}( |y + 2)| ) + k}$

Temos então que a solução da EDO é:

$\frac{y {}^{3} }{3} - \frac{y {}^{2} }{2} + 3y + \frac{2}{3} \ln( |y - 1| ) - \frac{17}{3} \ln( |y + 2)| ) + k = \int \frac{1}{x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{y {}^{3} }{3} - \frac{y {}^{2} }{2}+ 3y + \frac{2}{3} \ln( |y - 1| ) - \frac{17}{3} \ln( |y + 2)| ) + k_{1} = \ln( |x| ) + k_{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{y {}^{3} }{3} - \frac{y {}^{2} }{2} + 3y + \frac{2}{3} \ln( |y - 1| ) - \frac{17}{3} \ln( |y + 2)| ) = \ln( |x| ) + k \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Como não vai dar pra isolar o "y", a solução permanece sendo essa. Espero ter ajudado