Question

determine as frações geratrizes das seguintes dízimas:

a) 3,333...

b) 0,151151151...

c) 3,5555...

d) 2,13444....

e) 0,208208208...

f) 0,3121212...​

Answer 1

Resposta:

a) 10/3

b) 151/999

c) 32/9

d) 1921/900

e) 208/999

f) 309/990

Explicação passo-a-passo:

O passo a passo para todas elas é bem parecido, porém com suas pequenas diferenças, vejamos:

a) 3,333...

Vamos chamar essa valor de x:

x = 3,333...

Agora vamos multiplicar ele por 10:

10x = 33,333...

Agora vamos diminuir um dele, dele mesmo:

10x - x = 33,333... - 3,333...

Note que na dizima periódica, todos os valores depois da virgula irão se cortar na subtração:

9x = 33,333... - 3,333... = 30

Então se:

9x = 30

Então:

x = 30/9 = 10/3

b) 0,151151151...

Faremos algo parecido, chamaremos de x também:

x = 0,151151151...

Porém dessa vez iremos multiplicar por 1000, pois queremos que aparece a repetição da dizima na mesma ordem:

1000x = 151,151151151...

Agora da mesma forma iremos subtrair ele mesmo de 1000x:

1000x - x = 151,151151151... - 0,151151151...

999x = 151

Pois todas as dizimas estavam na mesma ordem e se "cortaram", sendo assim:

x = 151/999

c) 3,5555...

Este é idêntico a letra a):

x = 3,5555...

Então:

10x = 35,555...

E:

10x - x = 35,555... - 3,5555...

9x = 32

x = 32/9

d) 2,13444....

x = 2,13444....

Neste caso vamos multiplicar este valor até sua dizima estar próxima da virgula:

100x = 213,4444...

E agora vamos multiplica-lo novamente de forma que mantenha sua dizima:

1000x = 2134,444...

Note que agora 1000x - 100x irá cortar toda a dizima periódica, então:

1000x - 100x = 2134,444... - 213,4444...

900x = 1921

x = 1921/900

e) 0,208208208...

Esta é idêntica a letra b):

x = 0,208208208...

1000x = 208,208208208...

Então:

1000x - x = 208,208208208... - 0,208208208...

999x = 208

x = 208/999

f) 0,3121212...​

Esta é bem parecida com a letra d). Iremos multiplicar nosso número até a dizima chegar perto da virgula:

x = 0,3121212...​

10x = 3,121212...​

E agora multiplicar novamente para que repita a dizima:

100 . 10x = 1000x = 312,1212...​

Agora note que ao subtrair 10x de 1000x, todas as dizimas irão se cortar, sendo assim:

1000x - 10x = 312,1212...​ - 3,121212...​

990x = 309

x = 309/990