Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos
que são centros dos círculos tangentes simultaneamente à reta y = 1
e ao círculo x² + y² =9
Soluções para a tarefa
Resposta:
e , com
Explicação:
Vamos considerar que o ponto pertence ao lugar geométrico em questão. Dada uma reta de equação e um ponto , a distância do ponto à reta é igual a:
Podemos reescrever a reta como . Ela deve ser tangente à circunferência de centro logo a sua distância até o centro da circunferência deve ser igual ao seu raio , logo:
Da mesma forma, as circunferências também devem ser tangentes logo a distância entre os seus centros deve ser igual à soma dos raios das circunferências. O círculo de equação possui centro (0, 0) e raio , logo:
Substituindo por :
Perceba que, como o raio deve ser um número positivo, temos que . Como estamos trabalhando com módulo, o resultado não será negativo. No entanto, ainda há a possibilidade o resultado se nulo. Dessa forma, temos que . Substituindo na equação:
Daí tiramos que os pontos e devem ser desconsiderados. Voltando à equação inicial , temos as possibilidades e . No 1º caso ficamos com:
No 2º caso ficamos com: