Física, perguntado por sophiamelo005, 7 meses atrás

Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos
que são centros dos círculos tangentes simultaneamente à reta y = 1
e ao círculo x² + y² =9

Soluções para a tarefa

Respondido por Zecol
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Resposta:

x^2=4(y+1) e x^2=-8(y-2), com (x,y)\notin\{(-2\sqrt{2},1),(2\sqrt{2},1)\}

Explicação:

Vamos considerar que o ponto (x,y) pertence ao lugar geométrico em questão. Dada uma reta de equação ax+by+c=0 e um ponto P(x_p,y_p), a distância do ponto à reta é igual a:

d=\frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Podemos reescrever a reta y=1 como 0\cdot x+y-1=0. Ela deve ser tangente à circunferência de centro (x,y) logo a sua distância até o centro da circunferência deve ser igual ao seu raio r, logo:

\frac{|0\cdot x+1\cdot y-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}=r

|y-1|=r

Da mesma forma, as circunferências também devem ser tangentes logo a distância entre os seus centros deve ser igual à soma dos raios das circunferências. O círculo de equação x^2+y^2=9 possui centro (0, 0) e raio \sqrt{9}=3, logo:

\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=r+3

\sqrt{x^2+y^2}=r+3

x^2+y^2=(r+3)^2

Substituindo r por |y-1|:

x^2+y^2=(|y-1|+3)^2

Perceba que, como o raio r deve ser um número positivo, temos que |y-1|>0. Como estamos trabalhando com módulo, o resultado não será negativo. No entanto, ainda há a possibilidade o resultado se nulo. Dessa forma, temos que |y-1|\neq 0\therefore y-1\neq0\therefore y\neq1. Substituindo y na equação:

x^2+1^2\neq(|1-1|+3)^2

x^2+1\neq9

x^2\neq8

x\neq\pm\sqrt{8}

x\neq\pm2\sqrt{2}

Daí tiramos que os pontos (2\sqrt{2},1) e (-2\sqrt{2},1) devem ser desconsiderados. Voltando à equação inicial x^2+y^2=(|y-1|+3)^2, temos as possibilidades x^2+y^2=(y-1+3)^2 e x^2+y^2=(1-y+3)^2. No 1º caso ficamos com:

x^2+y^2=(y-1+3)^2

x^2+y^2=(y+2)^2

x^2+y^2=y^2+4y+4

x^2=4y+4

x^2=4(y+1)

No 2º caso ficamos com:

x^2+y^2=(-y+1+3)^2

x^2+y^2=(-y+4)^2

x^2+y^2=y^2-8y+16

x^2=-8y+16

x^2=-8(y-2)

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