Question

Determine a soma das raízes não inteiras da equação 6x^3 - 7x^2 -7x +6=0

Answer 1

Ao verificar se uma das raízes é múltipla de d/a = 6/6 = 1, constatamos que o número - 1 é raiz. Logo a equação pode ser reescrita como:

6x³ - 7x² - 7x + 6 = 6.(x + 1).(x² + bx + c)
6x³ - 7x² - 7x + 6 = 6x³ + 6bx² + 6xc + 6x² + 6bx + c = 6x³ + (6b + 6)x² + (6b + 6)x + 6c

Comparando os termos, verificamos que:
6c = 6 ⇒ c = 1
6b + 6 = - 7 ⇒ b = - 13/6

Temos então:
6.(x + 1).(x² - 13x/6 + 1) = 0

O segundo polinômio fornece raízes não inteiras. Sua soma é dada por:

S = - b/a = - (- 13/6) = 13/6.

Answer 2

Testando a relação que determina as possíveis raízes:

q/a = 6/6 = 1, -1

P(x) = 6x³-7x²-7x+6
P(1) = 6(1)³-7(1)²-7(1)+6
P(1) = 6-7-7+6
P(1) = 12-14 = -2

Logo, 1 não é raiz.

P(x) = 6x³-7x²-7x+6
P(-1) = 6(-1)³-7(-1)²-7(-1)+6
P(-1) = -6-7+7+6
P(-1) = 0

O -1 é raíz. Reduzindo por Briot-Ruffini:

__|_ 6__-7__-7__6__
-1 |  6    -13   6    0

6x²-13x+6 = 0

Como já descartamos a raíz inteira, as raízes do polinômio restante serão obrigatoriamente as não inteiras. Pela relação de Girard:

Soma de raízes:
S = -b/a
S = -(-13)/6
S = 13/6