Question

Determine a integral de linha
∫
C
→
F
.
d
→
γ
sendo o campo vetorial
→
F
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
z
^
x
+
2
x
z
^
y
+
x
2
^
z
e a curva C definida pela equação
γ
(
t
)
=
(
t
,
t
2
,
2
t
2
)
, para 0≤t≤1.

Answer 1

                         

                                                 $\boxed{\int\limits_{C} {F} \, d\gamma=? } }$

                                                   

• Campo vetorial  $F(x, y,z) = x^{2}. z .x^. + 2.x.z. y^. +x^{2} . z^.$

 

•  C é definida pela equação:    $\gamma(t) = ( t, t^2 , 2t^2),\ para \ 0\leq t\leq 1$

   a integral do campo vetorial ao longo de uma curva tem o mesmo valor que a integral do componente tangencial do campo vetorial ao longo da curva, ou seja o teorema fundamental das integrais de linha.

                  $\int\limits_{C} {F} \, d\gamma=\int\limits^a_b {F(\gamma(t)).\gamma'(t)} \, d\gamma$

A  integral varia de  0 a 1.

                         

                                  $\int\limits^1_0 {F(t,t^2,2t^2).\gamma'(t)} \, d\gamma$

• $\gamma'(t) = \lim_{\delta t \to \00} \frac{\gamma(t+\delta t)-\gamma(t)}{\delta t} = \lim_{\delta t \to \00}\frac{1}{\delta t} .\frac{(\gamma(t+\delta t)-(t,t^2,2t^2))}1} = \lim_{\delta t \to \00}\frac{1}{\delta t} \gamma(t+\delta t)-t = \lim_{\delta t \to \00} \frac{ \gamma(t+\delta t)-t}\delta}} = t'$
• $F(t,t^2,2t^2)= t^2.2t^2.t+ 2.t . 2t^2.t^2+t^2.2t^2 = 2t^5+4.t^5+2t^4= t^5(4+2)+2t^4=6t^5+2t^4$

$\int\limits^1_0 {6t^5+2t^4.t'} \, dt = \int\limits^1_0 {6t^5} \, dt + \int\limits^1_0 {2t^4.t'} \, dt= 6 \int\limits^1_0 {t^5} \, dt+2\int\limits^1_0 {0} \, dx =6 .\frac{t^6}{6}|^1_0 = 6. [\frac{1}{6} - 0] = 6. \frac{1}{6} = 1$

Resposta:  1

Answer 2

Resposta:

3

Explicação passo a passo: