Question

Determine a função quadratica que intercecciona os eixos coordenados nos pontos de (-1,0), (3,0) e (0,6)

Answer 1

A estrutura básica da função quadrática é a seguinte: f(x) = ax² + bx + c
temos 3 coordenadas cartesianas (x,y) pelas quais essa função deve passar: (-1,0); (3,0) e (0,6). o que significa que: Para (-1,0) quando a incógnita x valer -1, y valerá 0. Já para (3,0), quando a incógnita x valer 3, y valerá 0 também, e o mesmo acontece na coordenada (0,6). Dispondo dessas informações, podemos concluir o seguinte:
No ponto (-1,0):
 f(x) = ax² + bx + c => subst. x, e subst. f(x) que é o mesmo que y => y = ax² + bx + c => 0 = a(-1)² + b.(-1) + c
Para o ponto (3,0) temos:
0 = a.(3)² + b.3 + c
e para o ponto (0,6) temos:
6 = a.(0)² + b.0 + c
Agora, dispondo dessas equações, podemos montar um sistema e determinar os coeficientes a, b e c da função quadrática:
a.(-1)² + b.(-1) + c = 0 (I)
a.(3)² + b.3 + c = 0 (II)
a.(0)² + b.0 + c = 6 (III)

Da equação III, temos:
0.a + 0.b + c = 6 => c = 6

Agora subst. o valor de C nas eq. I e II, temos:
a. (-1)² + b. (-1) + 6 = 0 (I)
a.(3)² + b.3 + 6 = 0 (II)

a - b + 6 = 0  (I)  (Multiplicamos essa equação por 3 após essa etapa)
9a + 3b + 6 = 0  (II)

3a - 3b + 18 = 0  (I)   (Após essa etapa, somamos as 2 equações)
9a + 3b + 18 = 0 (II)

12a + 36 = 0 => 12a = -36 => a = -36/12 => a = -3 

Agora, de posse do valor do coeficiente "a" também, podemos calcular b, substituindo os valores de a e c em qualquer das equações, nesse caso, vamos usar a Eq. I:
a - b + 6 = 0 => -3 - b + 6 = 0 => -b + 3 = 0 => b = 3

Perceba que nesse momento sabemos os valores dos coeficientes a, b e c, assim, já podemos montar a função quadrática, substituindo esses valores na estrutura f(x) = ax² + bx + c, que fica:
f(x) = -3x² + 3x + 6  ou  y = -3x² + 3x + 6

Não se assuste com o tamanho da resolução, só ficou grande por que fiz bem detalhado, mas fazendo mais exercícios como esse, vc passa a usar bem menos tempo e espaço que isso.