Question

Determine a equação geral da circunferência de centro O (1,2) que passa pelo ponto P (4,-2).

Answer 1

Alternativa C - x² + y² - 2x - 4y - 20 = 0

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que a equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:

(X - Xc)² + (Y - Yc)² = R², em que Xc e Yc são as coordenadas X e Y do centro, e R é o raio.

Assim, podemos substituir Xc e Yc pelas coordenadas do centro dadas no enunciado (1; 2).

(X - 1)² + (Y - 2)² = R²

Para encontrarmos o raio R, basta calcular a distância (d) entre o centro O (1; 2) e o ponto P (4 ; -2), dado pelo enunciado como parte da circunferência.

Para isso, fazemos:

d² = (∆x)² + (∆y)²

d² = (Xp - Xo)² + (Yp - Yo)²

d² = (4 - 1)² + (-2 - 2)²

d² = 3² + (-4)²

d² = 9 + 16 = 25

d = 5

Portanto, o raio R = 5.

Agora, temos todas as informações para calcular a equação geral da circunferência.

(x - 1)² + (y - 2)² = 5²

x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 25

x² + y² - 2x - 4y - 20 = 0

Answer 2

• Como a medida do raio da circunferência é OP, então:

$\sf OP=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2}\to(OP)^2=3^2+(-4)^2 \to (OP)^2=25\to r^2=25$

• Assim, a equação geral da circunferência é dada por:

$\sf (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\to(x-1)^2+(y-2)^2=25\to x^2-2x+1+y^2-4y+4-25=0\\\\\\\boxed{\sf x^2+y^2-2x-4y-20=0}$

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