Question

Determine a equação geral da circunferência:
C (2,3) e P (-2, 0)

Answer 1

Uma equação genérica para circunferências é $x^2 + y^2 = r^2$, onde x e y são as coordenadas dos pontos e r é o raio da circunferência. Vamos começar a resolução do problema obtendo o raio da circunferência.

De acordo com o enunciado, o centro está em x = 2, y = 3. Já um dos pontos se encontra em x = -2, y = 0. Você pode ver essas duas coordenadas na primeira imagem em anexo. Evidentemente, a distância entre esses dois pontos vai ser o raio da circunferência.

Para conseguir o raio, é só determinar a distância entre os pontos. Vamos fazer isso por meio do seguinte raciocínio: vamos traçar o segmento de reta mais curto entre os dois pontos e depois traçar dois segmentos de reta, um indicando a distância horizontal e outro indicando a distância vertical entre os pontos. O resultado você pode ver na segunda figura anexada.

Perceba que temos um triângulo retângulo! Perceba também que duas das medidas nós conhecemos: h tem comprimento 4 e g tem comprimento 3. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo para obter a distância entre os pontos A e B:

$r^2 = 3^2 + 4^2\\r = \sqrt{25}\\r = 5$

Então o raio da circunferência é 5.

Então será que paramos por aqui? Será que a resposta é $x^2 + y^2 = 25$? Não! Temos um problema. A equação genérica $x^2 + y^2 = r^2$ só vale quando o centro da circunferência estiver na origem! E aí, o que fazer?

Temos que atrasar os valores de x e y. Queremos o centro da circunferência em x = 2 e y = 3, então o que temos que fazer é subtrair 2 e 3 de x e y, ficando com a equação final:

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Essa é a equação reduzida da circunferência. A equação geral é o que você obtém quando desenvolve os quadrados. Ou seja:

$(x-2)^2+(y-3)^2 = 25\\\\(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 25\\\\x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 25\\\\\boxed{x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0}$

Você pode checar num software que é exatamente essa a resposta. As imagens que eu anexei foram feitas no Geogebra usando essa fórmula, e ela gera exatamente a circunferência que você quer.

Perceba que, se você quisesse, por exemplo, um centro em (-2,-3), em vez de subtrair 2 e 3 de x e y, você teria que somá-los.