Question

Determine a equação de uma curva que passa pelos pontos (0,2) e (-1,8) e cuja derivada segunda é y"= 12x²?

Answer 1

É dado o PVC:

$\begin{cases}y''=12x^2\\ y(0)=2\\ y(-1)=8\end{cases}$

A equação diferencial dada é separável. Portando, podemos integrar cada lado em relação às respectivas variáveis diretamente:

$\displaystyle y''=12x^2\\\\ \int y''\,dy=\int 12x^2\,dx\\\\ y'=12\cdot \dfrac{x^3}{3}+C_1\Longrightarrow y'=4x^3+C_1$

Obtivemos uma nova equação separável. Aplicando o mesmo método utilizando anteriormente:

$\displaystyle y'=4x^3+C_1\\\\ \int y'\,dy=\int (4x^3+C_1)\,dx\\\\ y=4\cdot \dfrac{x^4}{4}+C_1x+C_2\\\\ y(x)=x^4+C_1x+C_2$

Agora, basta utilizarmos os pontos dados:

$\bullet~y(0)=2:\\\\ y(0)=0^4+C_1\cdot0+C_2\\\\ 2=C_2\Longrightarrow (x)=x^4+C_1x+2$

$\bullet~y(-1)=8:\\\\ y(-1)=(-1)^4+C_1\cdot(-1)+2\\\\ 8=1-C_1+2\Longrightarrow C_1=-5$

Logo, a resposta final é:

$\boxed{y(x)=x^4-5x+2}$