Question

Determine a equação da reta tangente a curva no ponto x = 5.. (Equação na foto)

Answer 1

Resposta:

Reposta no arquivo em anexo, consta o gráfico efetuado do problema.

Explicação passo-a-passo:

d6ad597ae3b466a70e2605197ea88ead.pdf

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equação da reta tangente à curva e derivação.

Seja uma curva $\mathcal{C}$ dada pelo gráfico da função $f(x)$, contínua e derivável em $(x_0,~y_0)$, um ponto pertencente ao seu domínio. A equação da reta tangente à curva neste ponto é dada por $\boxed{y=y_0+f'(x_0)\cdot (x-x_0)}$.

Então, seja a função $f(x)=\sqrt{4x^2-19}$. Devemos determinar a equação da reta tangente à curva no ponto $x_0=5$.

Primeiro, calculamos a ordenada $y_0$ deste ponto, substituindo $x=5$:

$y_0=f(5)=\sqrt{4\cdot5^2-19}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$y_0=\sqrt{4\cdot25-19}\\\\\\ y_0=\sqrt{100-19}\\\\\\ y_0=\sqrt{81}$

Calcule o radical

$y_0=9$

Agora, calcule a derivada da função:

$f'(x)=[\sqrt{4x^2-19}]'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $[g(h(x))]'=h'(x)\cdot g'(h(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é calculada pela regra do produto: $[a\cdot g(x)]'=a\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $[x^n]'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da cadeia e da potência, considerando $g(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ e $h(x)=4x^2-19$.

$f'(x)=[4x^2-19]'\cdot \dfrac{1}{2}\cdot (4x^2-19)^{\frac{1}{2}-1}$

Aplique a regra da soma e some os expoentes. Utilize a regra da potência negativa: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.

$f'(x)=([4x^2]'+[-19]')\cdot \dfrac{1}{2}\cdot(4x^2-19)^{-\frac{1}{2}}\\\\\\ f'(x)=([4x^2]'+[-19]')\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{(4x^2-19)^{\frac{1}{2}}}\\\\\\ f'(x)=([4x^2]'+[-19]')\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{4x^2-19}}$

Aplique a regra do produto, da constante e da potência. Multiplique os termos ao final.

$f'(x)=(4\cdot[x^2]'+0)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{4x^2-19}}\\\\\\ f'(x)=(4\cdot2\cdot x^{2-1})\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{4x^2-19}}\\\\\\ f'(x)=8x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{4x^2-19}}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2-19}}$

Substituindo estes resultados na equação da reta tangente, teremos:

$y=9+\dfrac{4\cdot5}{\sqrt{4\cdot5^2-19}}\cdot(x-5)$

Calcule o radical e multiplique os valores

$y=9+\dfrac{20}{9}\cdot (x-5)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y=9+\dfrac{20}{9}x-\dfrac{100}{9}$

Some os termos semelhantes

$y=\dfrac{20}{9}x-\dfrac{19}{9}$

Esta é a equação da reta tangente à curva neste ponto.