Question

Determine a equação da reta que tangencia a circunferência x2+ y2 = 16 no ponto P (-2√2,2√2.
a. y = x + 4
b. y = - x
c. y = x - 4√2
d. y = x + 4√2
e. y = -x + 4√2

Answer 1

Olá.

Vamos dar uma revisada para retirar qualquer dúvida que surja sobre o assunto.

Para determinar a equação da reta tangente a uma circunferência por um determinado ponto, precisamos necessariamente determinar a posição relativa desse ponto. Posição esta que depende da distância do ponto ao centro da circunferência.

Existem três possibilidades para a posição relativa de um ponto P em relação a uma circunferência:

(I) P interno à circunferência, implica dizer que não é possível esboçar uma reta tangente.

(II) P sendo um ponto da circunferência. Neste caso o ponto P é o ponto de tangência e com isso será possível esboçar apenas uma reta tangente.

(III) P externo à circunferência. Podemos esboçar duas retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto P.

Contudo, para sabermos qual a posição do ponto P em relação à circunferência, devemos calcular a distância do centro da circunferência até o ponto e compararmos ao raio da circunferência.

Beleza? Saber isso é essencial.

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Mas voltando para o exercício isso está já resolvido, pois diz que a reta tangencia a circunferência no ponto P (caso II), ou seja, P é ponto de tangência da circunferência.

Para encontrarmos a equação da reta tangente, podemos usar qualquer um dos dois caminhos:

1) utilizar a expressão da distância do centro da circunferência até a reta tangente, distância esta que deve ser igual a r,

ou podemos também

2) encontrar a equação da reta que passa por P e pelo centro C da circunferência, e depois, utilizando a relação entre os coeficientes angulares desta reta e da reta tangente à circunferência, encontrar a reta tangente.

Vamos por esse segundo método.

Sabemos:

equação da circunferência:   $x^2+y^2=16$

coordenadas do ponto P:   $P(-2\sqrt2,2\sqrt2)$

Podemos escrever a equação da circunferência na forma: $(x-\alpha )^2+(y-\beta )^2=r^2$  , onde:

centro da circunferência: $C(\alpha ,\beta )$

raio da circunferência: $r$

Portanto, temos:

$x^2+y^2=16$

$(x-0)^2+(y-0)^2=4^2$

$C(0,0)$

$r=4$

Coeficiente angular: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Chamemos s a reta que passa pelo centro C da circunferência e pelo ponto P tangente à circunferência.

$\displaystyle m_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Y_p-Y_c}{X_p-X_c} =\frac{2\sqrt2-0}{-2\sqrt2-0} =-1$

Ok. Chamemos a reta tangente à circunferência e que passa pelo ponto P de reta t.

Duas retas são perpendiculares se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Portanto, se a reta s é perpendicular à reta t, temos:

$\displaystyle m_s=\frac{1}{-m_t}$

$\displaystyle m_t=\frac{1}{-m_s}$

$\displaystyle m_t=\frac{1}{-(-1)}=\frac{1}{1} =1$

E também

$\displaystyle m_t=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Y-Y_P}{X-X_A}$

$\displaystyle 1=\frac{y-2\sqrt2}{x-(-2\sqrt2)}$

$\displaystyle 1=\frac{y-2\sqrt2}{x+2\sqrt2}$

$y-2\sqrt2=x+2\sqrt2$

$y=x+2\sqrt2+2\sqrt2$

$y=x+4\sqrt2$

E esta é a equação da reta t, tangente à circunferência por P.

Bons estudos.