Question

Determine a distância entre o centro da circunferência x2+y2-4x-6y+5=0 é a reta de equação 3x+4y-3=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rafaely, que a resolução é simples.

Pede-se para determinar a distância entre o centro da circunferência à reta cujas equações são estas:

. equação da circunferência: x² + y² - 4x - 6y + 5 = 0
. equação da reta: 3x + 4y - 3 = 0

Veja: primeiro vamos encontrar qual é o centro C(x₀. y₀). Para isso vamos formar os quadrados na equação da circunferência, que é esta:

x² + y² - 4x - 6y + 5 = 0 ---- vamos ordenar, ficando:
x² - 4x + y² - 6y + 5 = 0 ---- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que serão acrescidos por força da formação dos quadrados. Assim, teremos:

(x-2)² - 4 + (y-3)² - 9 + 5 = 0 ---- ordenando, teremos:
(x-2)² + (y-3)² - 4 - 9 + 5 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
(x-2)² + (y-3)² - 8 = 0 ---- passando "-8" para o 2º membro, teremos:
(x-2)² + (y-3)² = 8 ----- veja que poderá ser substituído por √(8)² . Assim, teremos:

(x-2)² + (y-3)² = √(8)²

A propósito, veja que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , tem a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²       . (I)

Assim, fazendo a comparação entre a equação reduzida da circunferência da sua questão e a equação reduzida vista na expressão (I) acima, chegamos à conclusão de que  a circunferência da sua questão tem centro em C(2; 3) e tem raio = √8.

Bem, visto isso, agora vamos encontrar a distância (d) do centro da circunferência C(2; 3) à reta de equação  3x + 4y - 3 = 0.
Antes veja que a distância (d) de um ponto (x₀; y₀) a uma reta de equação Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte fórmula:

d = |Ax₀ + By₀ + C|/[√(A²+B²)

Note que temos os seguintes dados para substituir na fórmula acima:

A = 3 (é o coeficiente de "x" da reta)
B = 4 (é o coeficiente de "y" da reta)
C = -3 (é o termo independente da reta)
x₀ = 2 (é a abscissa do centro da circunferência)
y₀ = 3 (é a ordenada do centro da circunferência)

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

d = |3*2 + 4*3 - 3|/[√(3²+4²)
d = |6 + 12 - 3|/[√(9+16)
d = |15| / [√(25) ---- agora note que |15| = 15 e √(25) = 5. Assim:
d = 15/5
d = 3 <--- Esta é a resposta. Esta é a distância pedida .

Agora note que se trata de uma reta externa à circunferência (fora da circunferência), pois a distância dessa reta ao centro da circunferência deu maior que o seu raio (que é igual a √8, que dá cerca de 2,828).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Boa noite Rafaely

x² - 4x + 4 - 4 + y² - 6y + 9 - 9 + 5 = 0

(x - 2)² + (y - 3)² = 8 

centro C(2,3) e reta 3x + 4y - 3 = 0

da reta vem A = 3, B = 4, C = -3 
do centro vem x0 = 2, y0 = 3

formula da distância

d = |Ax0 + By0 + C|/√(A² + B²)

d = |3*2 + 4*3 - 3|/√(3² + 4²)

d = 15/5 = 3