Question

Determine a derivada direcional de f(x,y)=x3y4+x4y3 no ponto (1,1) e na direção θ=π/4.

resposta com raciocinio por favor

Answer 1

⇒    Aplicando nossos conhecimentos sobre Derivadas Direcionais, concluímos que a derivada direcional pedida é  7√2.

☛     A derivada direcional da função   $f(x,y,z)$   no ponto   $P(a,b,c)$   e na direção do vetor unitário   $\hat{u}$   é denotada por   $D_uf(P)$   e definida como   $D_uf(P)=\nabla f(P)\cdot \hat{u}$ .

Aqui temos   $f(x,y)=x^3y^4+x^4y^3$  . O gradiente da função é

$\nabla f=\partial f/\partial x \ \hat{i}+\partial f/\partial y \ \hat{j} =(3x^2y^4+4x^3y^3)\hat{i}+(4x^3y^3+3x^4y^2)\hat{j}$

No ponto (1, 1),    $\nabla f(1,1)=(3+4)\hat{i}+(4+3)\hat{j}=7\hat{i}+7\hat{j}$

O vetor unitário   $\hat{u}$   é   $\cos\theta\hat{i}+\sin\theta\hat{j}=\frac{\sqrt2}{2}\hat{i}+\frac{\sqrt2}{2}\hat{j}$

Portanto, a derivada direcional é igual a

$(7\hat{i}+7\hat{j})\cdot(\frac{\sqrt2}{2}\hat{i}+\frac{\sqrt2}{2}\hat{j})=\frac{7\sqrt2}{2}+\frac{7\sqrt2}{2}=7\sqrt2$

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