Question

Determine a derivada de f(x)= x^4

Answer 1

a resposta é: $f'(x) = 4. {x}^{3}$.

Explicação passo-a-pasao:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{({x+h})^{4} - ({x}^{4})}{h} =$

Note que:

$({x+h})^{4} = (x+h). (x+h). (x+h). (x+h) = ({x}^{2} + 2xh + {h}^{2}).({x}^{2} + 2xh + {h}^{2}) = ({x}^{4} + 4 {x}^{3}h + 6 {x}^{2}{h}^{2} + 4x {h}^{3} + {h}^{3} )$

Assim, substituindo no limite:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{({x}^{4} + 4 {x}^{3}h + 6 {x}^{2}{h}^{2} + 4x {h}^{3} + {h}^{3} )- ({x}^{4})}{h} =$

"Cortando" o termo ${x}^{4}$ no limite e isolando h, temos:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4 {x}^{3}h + 6 {x}^{2}{h}^{2} + 4x {h}^{3} + {h}^{3})}{h} =$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h . (4 {x}^{3} + 6 {x}^{2}{h}^{} + 4x {h}^{2} + {h}^{2})}{h} =$

"cortando" o h em cima e em baixo para remover a indeterminação 0/0:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (4 {x}^{3} + 6 {x}^{2}{h}^{} + 4x {h}^{2} + {h}^{2}) = (4 {x}^{3} + 6 {x}^{2}. {0}^{} + 4x.{0}^{2} + {0}^{2}) = 4 {x}^{3}$