Matemática, perguntado por jef36, 9 meses atrás

Determine a derivada de: f(x)=∛(x^2-5)^2

Soluções para a tarefa

Respondido por elizeugatao
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Vamos relembrar algumas propriedades de derivação

1) Derivada do monômio

\displaystyle [x^n]' = n.x^{n-1}

2) Regra da cadeia

\displaystyle [f(u)]' = f(u)'.u'

Onde "u" é uma função.

A questão pede a derivada de :

\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{(x^2-5)^2}

vamos reescrever a raiz em forma de potência para ajudar

\displaystyle f(x) =  [(x^2-5)^2]^{\frac{1}{3}}

Derivando:

\displaystyle f(x)' =  \frac{1}{3}.[(x^2-5)^2]^{\displaystyle (\frac{1}{3}-1)}.[(x^2-5)^2]'

Note que tivemos que usar a regra da cadeia.

\displaystyle f(x)' =  \frac{1}{3}.(x^2-5)^{\displaystyle( \frac{-2}{3}) }[(x^2-5)^2]'

\displaystyle f(x)' =  \frac{1}{3.(x^2-5)^{ \frac{2}{3}}}.[(x^2-5)^2]'

Cuidado nessa parte, vou até derivar separado aqui e dps eu substituo. Se liga :

Derivada de :

[(x^2-5)^2]' = 2.(x^2-5).[x^2-5]'

Não esquece de usar a regra da cadeia, de multiplicar pela derivada do que está dentro do parenteses.

Continuando :

[(x^2-5)^2]' = 2.(x^2-5).[x^2-5]'

[(x^2-5)^2]' = 2(x^2-5).(2x)

[(x^2-5)^2]' = 4x.(x^2-5)  

voltando lá na derivada :

\displaystyle f(x)' =  \frac{1}{3.(x^2-5)^{\frac{2}{3}}}.[(x^2-5)^2]'

substituindo a derivada que falta

\displaystyle f(x)' =  \frac{1}{3.(x^2-5)^{\frac{2}{3}}}.4x.(x^2-5)

pronto, está derivado.

Dá pra dar uma melhorada, assim :

\displaystyle f(x)' =  \frac{4x.(x^2-5)}{3.\sqrt[3]{(x^2-5)^2}}

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