Question

determine a,b € R em p(x)=x³+2x²+ax+b, de modo que p(x)+1 seja divisivel por x+1 e p(x)-1 seja divisivel por x-1.

Answer 1

⇒ Respondendo à questão:

Determine $a,b\in\mathbb{R}$ em $p(x)=x^3+2x^2+ax+b$, de modo que $p(x)+1$ seja divisível por $(x+1)$ e $p(x)-1$ seja divisível por $(x-1)$.

⇒ Resposta:

a = 0   e b = -2

⇒ Explicação passo-a-passo: Algumas considerações:

1) $p(x)+1=x^3+2x^2+ax+b+1$

2) $p(x)-1=x^3+2x^2+ax+b-1$

3) Teorema do resto: para polinômios com coeficientes reais [como p(x), ou p(x)+1, ou p(x)-1], dizer que um deles  é divisível por um polinômio de primeiro grau, como os nossos, significa que:

$p(x)+1$ é divisível por $(x+1)$ se, e somente se:

$p(-1)+1=0\to (-1)^3+2(-1)^2+a(-1)+b+1=0\to-a+b=-2\,\,(I)$

$p(x)-1$ é divisível por $(x-1)$ se, e somente se:

$p(1)-1=0\to(1)^3+2(1)^2+a(1)+b-1=0\to a+b=-2\,\,(II)$

4) Agora, podemos tomar $(I)$ e $(II)$ e montar um sistema, onde encontraremos os valores de $a$ e de $b$, pedidos; assim:

$\left\{\begin{array}{rcrcrc}-a&+&b&=&-2&\\\\a&+&b&=&-2&\end{array}\right.$

Somando as duas equações, termo a termo, teremos:

$2b=-4\to\boxed{b=-2}$

Aplicando $b=-2$ à segunda equação, teremos:

$a+(-2)=-2\to\boxed{a=0}$

É isso!! :)