Question

determine a area total da região entre a curva y=x^3-3x^2+2x e o eixo x, com 0=<x=<2.

Answer 1

O problema nos deu o gráfico da figura 1 $f(x)=x^3-3x^2+2x=y$
Quer que calculemos a parte destacada em roxo na figura 2

sabemos que a área de um gráfico é dada por:
$\displaystyle A=\lim_{n\to\infty}f(x_i)\Delta x+f(x_{_2})\Delta x+...+f(x_n)\Delta x\\ A=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$

então:
$\displaystyle A_{_{0\to2}}=\int\limits_{0}^{2}y\,dx=\int\limits_{0}^{2}x^3-3x^2+2x\,dx$
mas perceba uma coisa antes de começarmos a calcular a área, a parte a partir do 1 é negativa! então se calcularmos a integral de 0 a 2 ela dará 0:
$\displaystyle \int\limits_{0}^2x^3-3x^2+2x\,dx=\left.\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right|\limits_{0}^{2}=\left(\frac{2^4}{4}-2^3+2^2\right)-0=\\\\ \frac{16}{4}-8+4=4-8+4=0$
então temos que "quebrar" essa integral na parte onde ela muda de sinal e a partir de onde ela fica negativa temos que atribuir o símbolo negativo (para que fique positivo e possamos calcular a área total) figura 3
então:
$\displaystyle A=\int\limits_{0}^{2}y\,dx=\int\limits_{0}^{1}y\,dx+\int\limits_{1}^{2}y\,dx$
pela propriedade da integral:
$\boxed{\int\limits_{a}^{c}f\,dx=\int\limits^{b}_{a}f\,dx+\int\limits_{b}^{c}f\,dx}$
onde f é uma função contínua em [a,c], derivável em (a,c) e b é um ponto dentro do intervalo (a,c).
mas como eu mencionei a partir de 1 até 2 a função é negativa, então a área total é:
$\displaystyle A_{_{T}}=\int\limits_{0}^{1}y\,dx-\int\limits_{1}^{2}y\,dx$
pela propriedade:
$\boxed{\int\limits_{a}^{b}fdx=-\int\limits_{b}^{a}fdx}$
a fórmula da área pode ser reescrita:
$\displaystyle A_{_{T}}=\int\limits_{0}^{1}y\,dx+\int\limits_{2}^{1}y\,dx$
então:
$\displaystyle A_{_{T}}=\int\limits_{0}^{1}x^3-3x^2+2x\,dx+\int\limits_{2}^{1}x^3-3x^2+2x\,dx\\\\A_{_T}}=\left.\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right|\limits_{0}^{1}+\left.\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right|\limits_{2}^{1}\\\\\\ \left.\frac{x^4}{4}- x^3+x^2\right|\limits_{2}^{1}=\frac{1}{4}-1+1-0=\frac{1-4+4}{4}=\boxed{\frac{1}{4}}\\\\ \left.\frac{x^4}{4}- x^3+x^2\right|\limits_{2}^{1}=\frac{1}{4}-(\frac{16}{4}-8+4)=\frac{1}{4}-0=\boxed{\frac{1}{4}}\\\\ \underline{A_{_{T}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\boxed{\frac{1}{2}}}$