Question

Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto A(3,-2) seja igual à metade de sua distância à reta y -2 = 0

Answer 1

Olá Lucas.

Seja o ponto P de cordenadas (X,Y)

$P(x,y)$

Vamos determinar a distancia do ponto P até o ponto A

$d(P1, P2) = \sqrt{(x1-xo)^2+(y1-y2)^2}$

$d(P,A) = \sqrt{(3-x)^2+(-2-y)^2}$

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agora vamos calcular a distancia do ponto P até a Reta " Y -2 = 0"

$\\ d(P, r) = \frac{|ax+by+c|}{ \sqrt{a^2+b^2} } \\ \\ d(P,r) = \frac{|0*x+1*y-2|}{ \sqrt{0^2+1^2} } \\ \\ d(P,r) = |y-2|$

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Pois bem, temos duas distancia com as mesmas variáveis.

No entanto, a questão nos diz:

d(P,A) = d(P,r)/2  ← ou seja,

2d(P,A) = d(P,r)

substituindo os dados teremos:

$2|y-2| = \sqrt{(3-x)^2+(-2-y)^2}$

Elevando ambos os lados ao quadrado teremos:

$(2|y-2|)^2 = (\sqrt{(3-x)^2+(-2-y)^2} )^2$

Repare que (3-x)², (-2-y)² e |y-2|² > 0 portanto podemos tirar os modulos e as raizes tranquilamente.


$\\ 2^2(y-2)^2 = (3-x)^2+(-2-y)^2 \\ \\ 4(y^2-4y+4)=3^2-6x+x^2+4-2*(-2)*y+y^2 \\ \\ 4y^2-16y+16=9-6x+x^2+4+4y+y^2 \\ \\ 4y^2-16y+16 = x^2+y^2-6x+4y+13 \\ \\ x^2-3y^2-6x+20y=3$

Fatore pelo método de completar quadrado.


$\\ x^2-6x-3y^2+20y=3 \\ \\ x^2-6x+(3)^2-(3)^2 - (\sqrt{ 3 } y)^2+20y+ (\frac{10 \sqrt{3} }{3} )^2- (\frac{10 \sqrt{3} }{3} )^2=3 \\ \\ (x-3)^2-9+(- \sqrt{3} y- \frac{10 \sqrt{3} }{3} )^2- \frac{100*3 }{9} =3 \\ \\ (x-3)^2+[(-1)(\sqrt{3} y+ \frac{10 \sqrt{3} }{3})]^2=3+9+ \frac{100}{3} \\ \\ (x-3)^2+(-1)^2*(\sqrt{3} y+ \frac{10 \sqrt{3} }{3})^2= 12+ \frac{100}{3} \\ \\ (x-3)^2+(\sqrt{3} y+ \frac{10 \sqrt{3} }{3})^2= \frac{36}{3} +\frac{100}{3}$


$\\ (x-3)^2+(\sqrt{3} y+ \frac{10 \sqrt{3} }{3})^2= \frac{136}{3} \\ \\ \frac{(x-3)^2}{ \frac{136}{3} } + \frac{(\sqrt{3} y+ \frac{10 \sqrt{3} }{3})^2}{ \frac{136}{3} } = \frac{ \frac{136}{3} }{ \frac{136}{3} } \\ \\ \frac{(x-3)^2}{ \frac{136}{3} } + \frac{(\sqrt{3} y+ \frac{10 \sqrt{3} }{3})^2}{ \frac{136}{3} } =1 \\ \\ \frac{(x-3)^2}{ ( \sqrt{\frac{136}{3}})^2 } + \frac{(\sqrt{3} y+ \frac{10 \sqrt{3} }{3})^2}{( \sqrt{\frac{136}{3}})^2 } =1$

Temos uma circunferência. Observe que:

a = b