Determinar o vetor u tal que |u|=2, o ângulo entre u e v = (1,-1,0) é 45 e u é ortogonal a w=(1,1,0). Resolução com explicação. Obrigado.
Soluções para a tarefa
Se u é ortogonal a w, o produto interno é zero.
u . w = (x,y,z) . (1,1,0)
0 = x . 1 +y .1+ 0.1
0 = x+y
x+y = 0
A questão diz que o ângulo entre u e v é 45º ( o cosseno é raiz de 2/2 ), usando a regra do produto interno temos que :
u . v = |u| . |v| .cosseno de 45º
Para calcular o módulo de v.
usamos que |v| = raiz quadrada de 1² + (-1²) + 0²
= raiz de 1+1 = raiz de 2
voltando a fórmula.
u . v = |u| . |v| .cosseno de 45º
(x,y,z) . (1,-1,0) = 2 . raiz de 2. raiz de 2/2
x-y = 2
usando um sistema simples com os dois resultados obtidos:
x+y = 0
x-y = 2
2x=2
x= 2/2
x= 1 <-------------
x+y = 0
1+y = 0
y = -1 <--------------
Para obtermos o valor de z usaremos a regra do módulo de u.
|u| = raiz quadrada de x² + y² + Z²
|u| = raiz quadrada de 1² + (-1²) + Z²
2 = raiz quadrada de 1 + 1 + Z²
elevando tudo ao quadrado para se retirar a raiz.
(2)² = (raiz quadrada de 1 + 1 + Z² )²
4 = 1 + 1 + Z²
Z² = 4 - 2
Z² = 2
Z = mais ou menos raiz de 2
logo u = (1,-1, raiz de 2)
ou u = (1,-1, menos raiz de 2)
O vetor u pode ser u = (1,-1,√2) ou u = (1,-1,-√2).
Vamos considerar que o vetor u é u = (x,y,z).
A primeira informação que temos é que a norma do vetor u é igual a 2.
Sendo assim:
x² + y² + z² = 2²
x² + y² + z² = 4.
Além disso, o ângulo entre os vetores u e v = (1,-1,0) é 45º.
Calculando o produto interno <u,v>, obtemos:
<u,v> = x - y.
A norma do vetor v é:
||v||² = 1² + (-1)² + 0²
||v||² = 1 + 1
||v||² = 2
||v|| = √2.
Então, podemos afirmar que:
x - y = 2√2.cos(45)
x - y = 2√2.√2/2
x - y = 2.
Como u e w = (1,1,0) são ortogonais, então o produto interno <u,w> é igual a zero, ou seja:
x + y = 0
x = -y.
Substituindo o valor de x na equação x - y = 2, obtemos:
-y - y = 2
-2y = 2
y = -1.
Consequentemente:
x = -(-1)
x = 1.
Assim, o valor de z é igual a:
1² + (-1)² + z² = 4
1 + 1 + z² = 4
2 + z² = 4
z² = 2
z = √2 ou z = -√2.
Portanto, podemos concluir que o vetor u pode ser u = (1,-1,√2) ou u = (1,-1,-√2).
Exercício sobre vetor: https://brainly.com.br/tarefa/18883950
