Determinar o ângulo entre os planos a e b sabendo suas equaçoes a: 2x+ y -z +3 = 0 e b: x + y - 4 = 0 .Assinale a ALTERNATIVA CORRETA. A) π/3 rad B) π/4 rad C) π/6 rad D) 2π/3 rad E) 2π/5 rad
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O ângulo entre os planos a e b é π/6 radianos.
O vetor normal do plano a: 2x + y - z + 3 = 0 é u = (2,1,-1). Já o vetor normal do plano b: x + y - 4 = 0 é v = (1,1,0).
Calculando o produto interno entre os vetores u e v, obtemos:
<u,v> = 2.1 + 1.1 + (-1).0
<u,v> = 2 + 1 + 0
<u,v> = 3.
A norma do vetor u é:
||u||² = 2² + 1² + (-1)²
||u||² = 4 + 1 + 1
||u||² = 6
||u|| = √6.
A norma do vetor v = (1,1,0) é:
||v||² = 1² + 1² + 0²
||v||² = 1 + 1 + 0
||v||² = 2
||v|| = √2.
Note que ||u||||v|| = 2√3.
O ângulo entre dois vetores é definido pela fórmula:
- .
Portanto, o ângulo entre os dois planos é igual a:
cos(θ) = 3/2√3
cos(θ) = √3/2
θ = arccos(√3/2)
θ = 30º
θ = π/6.
Alternativa correta: letra c).
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