Question

Determinar m de modo que a função do 2o grau f(x) = mx2 −2(m+1)x+m−1 assuma valores negativos para todo x real.

Answer 1

Cordiais saudações


Para que a função seja negativa teremos a condição f(x)<0

mx²-2(m+1)x+m-1<0

Significa que ela não deve ter zeros (∆<0) porque são onde a função teria y=0 violando a condição.

Deve estar virada para baixo (a<0) pois a função assim virá do menos infinito e irá para o menos infinito nos valores de y. Isso implica Yv<0.

Calculando nestas condições:

∆<0 a=m b=2(m+1)=2m+2 c=m+1

∆=b²-4ac

∆=(2m+2)²-4*(m+1)*m

(2m+2)²-4*(m+1)*m<0

4m²+8m+4-4m²-4m<0

4m²-4m²+8m-4m+4<0

4m+4<0
m<-4÷4
m<-1

Já que a=m cumpre-se a segunda condição: a<0 pois m<-1

Falta verificar se Yv<0

Yv=-∆/4a
Yv= -m/4*m=-1/4

SE m<-1 logo a<0 e Yv<0

Para que a função assuma valores negativos em todo seu domínio m deve ser menor que -1. m<-1

Abençoado dia.